Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-3),(-5,5) e (3,-5).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 45.3
(B) 46.3
(C) 47.3
(D) 48.3
(E) 49.3
(F) 50.3
(G) 51.3
(H) 52.3

Passo 1

O enunciado dá três pontos pelos quais passa um mesmo círculo: (1,-3),(-5,5) e (3,-5). Pede para determinar o centro e o raio desse círculo e, entre as opções listadas, indicar qual é o valor mais próximo do raio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação geral do círculo, depois de abrir o quadrado, é
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2},
onde (x_{0},y_{0}) é o centro e r o raio.
  • Os pontos que devem satisfazer a equação são (1,-3), (-5,5) e (3,-5).
O que vamos encontrar: os coeficientes a,b,c que tornam a equação verdadeira para os três pontos; então obter x_{0},y_{0} por x_{0}=-a/2, y_{0}=-b/2; e finalmente r por r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.

Passo 2

Escrever a equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c aplicada a cada um dos três pontos (substituir x e y).
Para (1,-3):
1^{2}+a\cdot1+(-3)^{2}+b\cdot(-3)=c
ou seja
a-3b+10=c.
Para (-5,5):
(-5)^{2}+a\cdot(-5)+5^{2}+b\cdot5=c
ou seja
-5a+5b+50=c.
Para (3,-5):
3^{2}+a\cdot3+(-5)^{2}+b\cdot(-5)=c
ou seja
3a-5b+34=c.
Agora temos três equações lineares (todas iguais a c) em a,b,c.

Passo 3

Eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas; assim obtemos um sistema de duas equações apenas em a e b.
Subtraindo a equação de (1,-3) da de (-5,5):
(-5a+5b+50)-(a-3b+10)=0
que simplifica para
-6a+8b+40=0.
Dividindo por 2:
-3a+4b+20=0,
ou rearranjando:
3a-4b=20.
Subtraindo a equação de (1,-3) da de (3,-5):
(3a-5b+34)-(a-3b+10)=0
que dá
2a-2b+24=0.
Dividindo por 2:
a-b+12=0,
ou
a-b=-12.
Portanto o sistema para a,b é
\begin{cases} 3a-4b=20,\\[4pt] a-b=-12. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para a e b.
Da segunda equação temos
a=b-12.
Substituindo na primeira:
3(b-12)-4b=20.
Desenvolvendo:
3b-36-4b=20 \quad\Rightarrow\quad -b-36=20.
Assim
-b=56 \quad\Rightarrow\quad b=-56.
Então
a=b-12=-56-12=-68.

Passo 5

Determinar c usando uma das equações iniciais (uso a da primeira ponto por simplicidade).
A equação obtida para (1,-3) era
a-3b+10=c.
Substituindo a=-68 e b=-56:
-68-3(-56)+10=c.
Calcular:
-68+168+10=c \quad\Rightarrow\quad c=110.
Agora temos a=-68, b=-56, c=110.

Passo 6

Obter o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r a partir de a,b,c.
Usamos as relações
x_{0}=-\dfrac{a}{2},\qquad y_{0}=-\dfrac{b}{2}.
Logo
x_{0}=-\dfrac{-68}{2}=\dfrac{68}{2}=34,
y_{0}=-\dfrac{-56}{2}=\dfrac{56}{2}=28.
Portanto o centro é (34,28).
Para o raio usamos
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Calcular x_{0}^{2} e y_{0}^{2}:
x_{0}^{2}=34^{2}=1156,\qquad y_{0}^{2}=28^{2}=784.
Somando:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1156+784=1940.
Então
r^{2}=c+1940=110+1940=2050.
Logo
r=\sqrt{2050}.

Passo 7

Aproximar \sqrt{2050} manualmente para comparar com as opções.
Sabendo que \;45^{2}=2025\; e \;46^{2}=2116\;, o valor \sqrt{2050} está entre 45 e 46. Podemos usar aproximação linear (ou binária):
A diferença para 45^{2} é 2050-2025=25. A derivada aproximada de \sqrt{x} em x=2025 é 1/(2\cdot45)=1/90. Portanto
\sqrt{2050}\approx 45+\dfrac{25}{90}=45+\dfrac{5}{18}=45+0{,}277\ldots\approx 45{,}277\ldots
Arredondando para uma casa decimal obtemos aproximadamente 45{,}3.
Comparando com as alternativas fornecidas, a que está mais próxima é a alternativa (A) 45{,}3.

Resposta

Centro: (34,28)
Raio: \sqrt{2050}\approx 45{,}3 (alternativa (A))

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