Q6: A equação do círculo com centro em (
) e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão, obtemos:
onde
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (
) para valores fixos de
e
, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de
e
, podemos determinar o raio do círculo através das relações (
).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 45.3
(B) 46.3
(C) 47.3
(D) 48.3
(E) 49.3
(F) 50.3
(G) 51.3
(H) 52.3
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 45.3
(B) 46.3
(C) 47.3
(D) 48.3
(E) 49.3
(F) 50.3
(G) 51.3
(H) 52.3
Passo 1
O enunciado dá três pontos pelos quais passa um mesmo círculo:
e
. Pede para determinar o centro e o raio desse círculo e, entre as opções listadas, indicar qual é o valor mais próximo do raio.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação geral do círculo, depois de abrir o quadrado, é
com as relações
onde
é o centro e
o raio.
- Os pontos que devem satisfazer a equação são
, e .
O que vamos encontrar: os coeficientes
que tornam a equação verdadeira para os três pontos; então obter
por
,
; e finalmente
por
.
Passo 2
Escrever a equação
aplicada a cada um dos três pontos (substituir
e
).
Para
:
ou seja
Para
:
ou seja
Para
:
ou seja
Agora temos três equações lineares (todas iguais a
) em
.
Passo 3
Eliminar
subtraindo a primeira equação das outras duas; assim obtemos um sistema de duas equações apenas em
e
.
Subtraindo a equação de
da de
:
que simplifica para
Dividindo por
:
ou rearranjando:
Subtraindo a equação de
da de
:
que dá
Dividindo por
:
ou
Portanto o sistema para
é
Passo 4
Resolver o sistema para
e
.
Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Desenvolvendo:
Assim
Então
Passo 5
Determinar
usando uma das equações iniciais (uso a da primeira ponto por simplicidade).
A equação obtida para
era
Substituindo
e
:
Calcular:
Agora temos
,
,
.
Passo 6
Obter o centro
e o raio
a partir de
.
Usamos as relações
Logo
Portanto o centro é
.
Para o raio usamos
Calcular
e
:
Somando:
Então
Logo
Passo 7
Aproximar
manualmente para comparar com as opções.
Sabendo que
e
, o valor
está entre
e
. Podemos usar aproximação linear (ou binária):
A diferença para
é
. A derivada aproximada de
em
é
. Portanto
Arredondando para uma casa decimal obtemos aproximadamente
.
Comparando com as alternativas fornecidas, a que está mais próxima é a alternativa (A)
.
Resposta
Centro:
Raio: (alternativa (A))
Raio: