Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}9 \\\\ -5 \\\\ 10 \\\\ 10\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}14 \\\\ 0 \\\\ 10 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção de dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano é dado por um ponto base e um span de dois vetores, logo temos que igualar as duas parametrizações e resolver um sistema linear em quatro incógnitas (os coeficientes dos vetores diretores).

Passo 2

Chamemos \displaystyle p_1=(9,-5,10,10), \displaystyle u_1=(1,-2,3,2), \displaystyle u_2=(0,2,2,-3), \displaystyle p_2=(14,0,10,7), \displaystyle v_1=(2,1,1,-1), \displaystyle v_2=(-2,-1,-1,-1).
Queremos achar a,b,c,d tais que
p_1 + a\,u_1 + b\,u_2 \;=\; p_2 + c\,v_1 + d\,v_2.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 9 + a &= 14 + 2c - 2d,\\\\ -5 -2a + 2b &= c - d,\\\\ 10 +3a + 2b &= 10 + c - d,\\\\ 10 +2a - 3b &= 7 - c - d. \end{cases}

Passo 3

Das segunda e terceira equações notamos ambas têm o termo c-d. Igualando
-5 -2a +2b \;=\; 3a +2b
vem
-5 -2a = 3a \quad\Longrightarrow\quad 5a = -5 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 4

Substituindo a=-1 na segunda equação,
-5 -2(-1) +2b = c - d \;\Longrightarrow\; -3 +2b = c-d.
Da primeira equação, com a=-1,
9-1 = 14 + 2(c-d) \;\Longrightarrow\; 8 = 14 +2(c-d) \;\Longrightarrow\; c-d = -3.
Igualando -3 = c-d = -3 +2b 2b=0, logo
b = 0.

Passo 5

Falta usar a quarta equação com a=-1 e b=0:
10 +2(-1) -3\cdot0 = 7 - (c+d) \;\Longrightarrow\; 8 = 7 - (c+d) \;\Longrightarrow\; c+d = -1.
Resolvendo o par
\begin{cases} c - d = -3,\\\ c + d = -1, \end{cases}
vem
c = -2,\quad d = 1.

Passo 6

O ponto de interseção é
X = p_1 + a\,u_1 + b\,u_2 = (9,-5,10,10) + (-1)\,(1,-2,3,2) + 0\,(0,2,2,-3) = (9-1,\,-5+2,\;10-3,\;10-2) = (8,\,-3,\;7,\;8).
Dessa forma, a coordenada x_1 vale 8.

Resposta

(E) 8

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