Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} : \left[\begin{array}{r}9 \\\\ -5 \\\\ 10 \\\\ 10\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e} \left[\begin{array}{r}14 \\\\ 0 \\\\ 10 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção de dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano é dado por um ponto base e um span de dois vetores, logo temos que igualar as duas parametrizações e resolver um sistema linear em quatro incógnitas (os coeficientes dos vetores diretores).
Passo 2
Chamemos \displaystyle p_1=(9,-5,10,10), \displaystyle u_1=(1,-2,3,2), \displaystyle u_2=(0,2,2,-3), \displaystyle p_2=(14,0,10,7), \displaystyle v_1=(2,1,1,-1), \displaystyle v_2=(-2,-1,-1,-1).
Queremos achar a,b,c,d tais que