Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & -1 & -1 \\\\ -2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & 6 & 6 & -4 \\\\ -1 & -6 & 0 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear sobredeterminado (quatro equações e três incógnitas x,y,z) e pede o valor de k para que ele seja consistente (ou seja, tenha solução). Vamos usar o método de substituição: primeiro resolver um subsistema de três equações para obter (x,y,z) e depois exigir que a quarta equação seja satisfeita, o que determinará k.
Passo 2
Da segunda equação
-2x = 3
segue-se imediatamente
x = -\tfrac{3}{2}.
Passo 3
Substituindo x = -\tfrac{3}{2} nas equações
x - 2y - z = -1
e
x + 6y + 6z = -4,
obtemos um sistema em y,z. Na primeira:
-\tfrac{3}{2} - 2y - z = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2y - z = -1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2},