Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & -1 & -1 \\\\ -2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & 6 & 6 & -4 \\\\ -1 & -6 & 0 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear sobredeterminado (quatro equações e três incógnitas x,y,z) e pede o valor de k para que ele seja consistente (ou seja, tenha solução). Vamos usar o método de substituição: primeiro resolver um subsistema de três equações para obter (x,y,z) e depois exigir que a quarta equação seja satisfeita, o que determinará k.

Passo 2

Da segunda equação
-2x = 3
segue-se imediatamente
x = -\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Substituindo x = -\tfrac{3}{2} nas equações
x - 2y - z = -1
e
x + 6y + 6z = -4,
obtemos um sistema em y,z. Na primeira:
-\tfrac{3}{2} - 2y - z = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2y - z = -1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2},
ou seja
-4y - 2z = 1.
Na segunda:
-\tfrac{3}{2} + 6y + 6z = -4 \quad\Longrightarrow\quad 6y + 6z = -4 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{5}{2},
ou seja
12y + 12z = -5.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} -4y - 2z = 1,\\\\ 12y +12z = -5, \end{cases}
podemos, por exemplo, isolar z na primeira: z = -\tfrac{1+4y}{2}, e inserir na segunda:
12y +12\Bigl(-\tfrac{1+4y}{2}\Bigr) = -5 \quad\Longrightarrow\quad 12y -6 -24y = -5 \quad\Longrightarrow\quad -12y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{12}.
Então
z = -\tfrac{1 + 4(-\tfrac{1}{12})}{2} = -\tfrac{1 - \tfrac{1}{3}}{2} = -\tfrac{\tfrac{2}{3}}{2} = -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

A quarta equação é
-\,x \;-\;6y \;=\; k.
Substituindo x=-\tfrac{3}{2} e y=-\tfrac{1}{12}:
-(-\tfrac{3}{2}) \;-\;6\bigl(-\tfrac{1}{12}\bigr) = \tfrac{3}{2} + \tfrac{6}{12} = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} = 2.
Logo é necessário k=2.

Resposta

(D) 2

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