Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III - O conjunto de todos
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado nos dá três conjuntos distintos e pergunta quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo-chave aqui é definição de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se,
- o vetor zero de
pertence a , -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é subespaço vetorial.”
Se o sistema for com
, a solução geral é
.
Se o sistema for
- O zero do espaço
não satisfaz (fica ), logo . - Sem o zero, não há subespaço.
Conclusão: I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “o conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é subespaço vetorial.”
Teste do vetor zero (polinômio nulo):
Teste do vetor zero (polinômio nulo):
- Se
então e , mas a condição pede , impossível.
Como o polinômio zero não pertence ao conjunto, ele não é subespaço.
Conclusão: II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “o conjunto de todos
tais que todas as entradas de
são positivas é subespaço vetorial.”
Teste do vetor zero:
Teste do vetor zero:
- Para
temos , cujas entradas não são estritamente positivas.
Logo, impedindo ser subespaço.
Conclusão: III é falsa.
Resposta
(A) Todas são falsas.