Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(4)=7+p(3) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 9 \times 8 é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos distintos e pergunta quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo-chave aqui é definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. o vetor zero de V pertence a W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é subespaço vetorial.”
Se o sistema for A\vec x=\vec b com \vec b\neq\vec 0, a solução geral é \vec x_p+\ker A.
  • O zero do espaço \mathbb{R}^n não satisfaz A\vec 0=\vec b (fica 0\neq b), logo 0\notin\{\vec x\mid A\vec x=\vec b\}.
  • Sem o zero, não há subespaço.
    Conclusão: I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “o conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(4)=7+p(3) é subespaço vetorial.”
Teste do vetor zero (polinômio nulo):
  • Se p(x)\equiv0 então p(4)=0 e p(3)=0, mas a condição pede 0=7+0, impossível.
    Como o polinômio zero não pertence ao conjunto, ele não é subespaço.
    Conclusão: II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “o conjunto de todos \vec v\in\mathbb{R}^{8} tais que todas as entradas de A\vec v são positivas é subespaço vetorial.”
Teste do vetor zero:
  • Para \vec v=\vec 0 temos A\vec0=\vec0, cujas entradas não são estritamente positivas.
    Logo \vec0\notin\{\vec v\mid A\vec v>0\}, impedindo ser subespaço.
    Conclusão: III é falsa.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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