Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II - Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
III - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb R^5 e define dois sistemas lineares:
S_{1}:\;c_1\vec v_{1}+c_2\vec v_{2}+c_3\vec v_{3}=\vec 0
e
S_{2}:\;c_1\vec v_{1}+c_2\vec v_{2}=\vec v_{3}.
O conteúdo é independência linear e solução de sistemas (homogêneo em S_1 e não homogêneo em S_2). Vamos verificar as afirmações I, II e III.

Passo 2

Analisando S_{1} quando \beta é LI: por definição de independência linear, a única combinação linear que dá zero é c_1=c_2=c_3=0. Logo, S_1 tem apenas a solução trivial e portanto é solução única. Assim, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 3

Analisando S_{2} quando \beta é LI: se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} são LI, então \vec v_{3} não pertence ao espaço gerado por \vec v_{1},\vec v_{2}. Logo não existe (c_1,c_2) tal que c_1\vec v_{1}+c_2\vec v_{2}=\vec v_{3}, isto é, S_2 não tem solução. Portanto, a afirmativa I (“tem solução única”) é falsa.

Passo 4

Analisando S_{2} quando \beta é LD: o fato de \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} serem linearmente dependentes não garante que \vec v_{3} esteja necessariamente no span \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Em alguns casos não há solução; em outros, se \vec v_{3}\in\mathrm{Span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} e \vec v_{1},\vec v_{2} são LI, existe solução única; se \vec v_{1},\vec v_{2} também forem LD, pode haver nenhuma ou infinitas soluções. Logo, não se pode afirmar que sempre haverá infinitas soluções, e a afirmativa III é falsa.

Resposta

(D) Apenas II é verdadeira.

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