Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
tem solução única.
II - Se
é LI, então
tem solução única.
III - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define dois sistemas lineares:
e
O conteúdo é independência linear e solução de sistemas (homogêneo em
e não homogêneo em
). Vamos verificar as afirmações I, II e III.
Passo 2
Analisando
quando
é LI: por definição de independência linear, a única combinação linear que dá zero é
. Logo,
tem apenas a solução trivial e portanto é solução única. Assim, a afirmativa II é verdadeira.
Passo 3
Analisando
quando
é LI: se
são LI, então
não pertence ao espaço gerado por
. Logo não existe
tal que
, isto é,
não tem solução. Portanto, a afirmativa I (“tem solução única”) é falsa.
Passo 4
Analisando
quando
é LD: o fato de
serem linearmente dependentes não garante que
esteja necessariamente no span
. Em alguns casos não há solução; em outros, se
e
são LI, existe solução única; se
também forem LD, pode haver nenhuma ou infinitas soluções. Logo, não se pode afirmar que sempre haverá infinitas soluções, e a afirmativa III é falsa.
Resposta
(D) Apenas II é verdadeira.