Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-4,1),(4,-2) e (-1,-1). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 4.2
(B) 5.2
(C) 6.2
(D) 7.2
(E) 8.2
(F) 9.2
(G) 10.2
(H) 11.2

Passo 1

O enunciado pede o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa pelos pontos (-4,1), (4,-2) e (-1,-1).
O conteúdo é geometria analítica de círculos: usamos a forma
x^{2}+y^{2}+a\,x+b\,y=c
em que os coeficientes a,b,c satisfazem um sistema linear ao substituir os três pontos. Depois obtemos
x_{0}=-\frac{a}{2},\quad y_{0}=-\frac{b}{2},\quad r=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c}.

Passo 2

Substituindo cada ponto em \,x^{2}+y^{2}+a\,x+b\,y=c, obtemos três equações:
(-4)^{2}+1^{2}+a\cdot(-4)+b\cdot1=c \quad\Longrightarrow\quad -4a + b - c = -17,
4^{2}+(-2)^{2}+a\cdot4 + b\cdot(-2)=c \quad\Longrightarrow\quad 4a - 2b - c = -20,
(-1)^{2}+(-1)^{2}+a\cdot(-1)+b\cdot(-1)=c \quad\Longrightarrow\quad -a - b - c = -2.
Esse é um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Eliminando c: subtraímos a segunda equação da primeira e a terceira da segunda, gerando
-8a + 3b = 3, \quad 5a - b = -18.
Da segunda obtemos b=5a+18. Substituindo na primeira,
-8a + 3(5a+18)=3 \quad\Longrightarrow\quad 7a = -51 \quad\Longrightarrow\quad a = -\tfrac{51}{7}.
Então
b = 5\Bigl(-\tfrac{51}{7}\Bigr)+18 = -\tfrac{129}{7},
e, de -a - b - c = -2, vem
c = \tfrac{194}{7}.

Passo 4

O centro é dado por
x_{0} = -\frac{a}{2} = \frac{51/7}{2} = \frac{51}{14}\approx 3,6429, \quad y_{0} = -\frac{b}{2} = \frac{129/7}{2} = \frac{129}{14}\approx 9,2143.

Passo 5

O raio satisfaz
r = \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c} = \sqrt{\Bigl(\frac{51}{14}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{129}{14}\Bigr)^{2}+\frac{194}{7}} \approx \sqrt{125{,}88}\approx 11{,}22.
Dentre as opções dadas, o valor mais próximo é 11{,}2.

Resposta

(H) 11.2

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