Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 4.2
(B) 5.2
(C) 6.2
(D) 7.2
(E) 8.2
(F) 9.2
(G) 10.2
(H) 11.2
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 4.2
(B) 5.2
(C) 6.2
(D) 7.2
(E) 8.2
(F) 9.2
(G) 10.2
(H) 11.2
Passo 1
O enunciado pede o centro
e o raio
do círculo que passa pelos pontos
,
e
.
O conteúdo é geometria analítica de círculos: usamos a forma
O conteúdo é geometria analítica de círculos: usamos a forma
em que os coeficientes
satisfazem um sistema linear ao substituir os três pontos. Depois obtemos
Passo 2
Substituindo cada ponto em
, obtemos três equações:
Esse é um sistema linear para
.
Passo 3
Eliminando
: subtraímos a segunda equação da primeira e a terceira da segunda, gerando
Da segunda obtemos
. Substituindo na primeira,
Então
e, de
, vem
Passo 4
O centro é dado por
Passo 5
O raio satisfaz
Dentre as opções dadas, o valor mais próximo é
.
Resposta
(H) 11.2