Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
(C) 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
(C) 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro
e o raio
do círculo que passa pelos pontos
,
e
.
O conteúdo é equação geral do círculo
O conteúdo é equação geral do círculo
com
,
,
, e vamos montar um sistema linear em
.
Passo 2
Para cada ponto
temos
Plugando
:
Plugando
:
Plugando
:
Passo 3
Subtraindo
de
elimina
:
Substituindo
em
:
Agora igualando
a esse
:
Passo 4
Com
e
temos
Então
Passo 5
O raio satisfaz
logo
Passo 6
Comparando com as opções, o valor mais próximo é
, que corresponde à alternativa (H).
Resposta
(H)