Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (2,5),(2,-2) \mathrm{e}(1,-4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
(C) 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa pelos pontos (2,5), (2,-2) e (1,-4).
O conteúdo é equação geral do círculo
x^{2}+y^{2}+a x+b y=c
com a=-2x_{0}, b=-2y_{0}, c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}, e vamos montar um sistema linear em (a,b,c).

Passo 2

Para cada ponto (x,y) temos
x^{2}+y^{2}+a x+b y=c.
Plugando (2,5):
4+25+2a+5b=c\quad\Rightarrow\quad2a+5b+29=c\quad(1)
Plugando (2,-2):
4+4+2a-2b=c\quad\Rightarrow\quad2a-2b+8=c\quad(2)
Plugando (1,-4):
1+16+a-4b=c\quad\Rightarrow\quad a-4b+17=c\quad(3)

Passo 3

Subtraindo (2) de (1) elimina c:
(2a+5b+29)-(2a-2b+8)=0\quad\Rightarrow\quad7b-21=0\quad\Rightarrow\quad b=-3.
Substituindo b em (2):
2a-2(-3)+8=c\quad\Rightarrow\quad2a+14=c.
Agora igualando (3) a esse c:
a-4(-3)+17=2a+14\quad\Rightarrow\quad a+29=2a+14\quad\Rightarrow\quad a=15.

Passo 4

Com a=15 e b=-3 temos
c=2a+14=2\cdot15+14=44.
Então
x_{0}=-\frac{a}{2}=-\frac{15}{2}=-7{,}5,\qquad y_{0}=-\frac{b}{2}=-\frac{-3}{2}=1{,}5.

Passo 5

O raio satisfaz
r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c=(-7{,}5)^{2}+(1{,}5)^{2}+44=56{,}25+2{,}25+44=102{,}5,
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r=\sqrt{102{,}5}\approx10{,}12.

Passo 6

Comparando com as opções, o valor mais próximo é 10{,}1, que corresponde à alternativa (H).

Resposta

(H)

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