Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}11 \\\\ -1 \\\\ -19 \\\\ -4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -6 \\\\ -10 \\\\ -4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4:
P:\;\begin{pmatrix}11\\\ -1\\\ -19\\\ -4\end{pmatrix} +\operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix}\Bigr\}, \quad Q:\;\begin{pmatrix}4\\\ -6\\\ -10\\\ -4\end{pmatrix} +\operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr\}.
Queremos o ponto de interseção x=(x_1,x_2,x_3,x_4) tal que x\in P\cap Q. Para isso, vamos parametrizar cada plano e igualar coordenadas, gerando um sistema linear.

Passo 2

Parametrizamos
x = \underbrace{\begin{pmatrix}11\\\ -1\\\ -19\\\ -4\end{pmatrix}}_{p_0} + a\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix}, \quad x = \underbrace{\begin{pmatrix}4\\\ -6\\\ -10\\\ -4\end{pmatrix}}_{q_0} + c\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
Isto dá, coordenada a coordenada, o sistema
\begin{cases} 11 -a +3b = 4 + c,\\\\ -1 +3b = -6 -2c +3d,\\\\ -19 -2a -3b = -10 -2c +3d,\\\\ -4 +2a -2b = -4 + c. \end{cases}

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão e eliminando c pela última equação c=2a-2b, obtemos
\begin{cases} -3a +5b = -7,\\\\ 4a - b -3d = -5,\\\\ 2a -7b -3d = 9. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a segunda da terceira equação achamos \,-2a -6b =14, ou seja \,a+3b=-7. Juntando com -3a+5b=-7 resolve-se
b=-2,\quad a=-1,
e daí pela segunda equação 4a -b -3d=-5 vem d=1,
e por fim c=2a-2b=2.

Passo 5

O ponto de interseção é
x = p_0 + a\,u + b\,v = \begin{pmatrix}11\\\ -1\\\ -19\\\ -4\end{pmatrix} +(-1)\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix} +(-2)\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\\ -7\\\ -11\\\ -2\end{pmatrix}.
Logo \,x_1=6.

Resposta

(E)

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