Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{11} & =x_{5} \\\ x_{10} & =x_{13} \\\ x_{6} & =x_{9} \\\ x_{10}+x_{11} & =x_{13}+x_{5} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 9
(B) 13
(C) 2
(D) 4
(E) 10
(F) 11
(G) 3
(H) 12

Passo 1

O enunciado define
S=\{(x_{1},\dots,x_{13})\in\mathbb{R}^{13}\mid \begin{cases} x_{11}=x_{5},\\\ x_{10}=x_{13},\\\ x_{6}=x_{9},\\\ x_{10}+x_{11}=x_{13}+x_{5} \end{cases} \}.
O conteúdo aqui é espaços solução de sistemas lineares homogêneos em \mathbb{R}^{n}. Para resolver, vamos usar que
\dim(S)=13-\rank(A),
onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, e \rank(A) é o número de equações independentes.

Passo 2

Escrevendo as quatro equações como linhas de um sistema homogêneo A\,x=0:
(1) x_{11}-x_{5}=0
(2) x_{10}-x_{13}=0
(3) x_{6}-x_{9}=0
(4) x_{10}+x_{11}-x_{13}-x_{5}=0
Cada equação linearmente independente reduz a dimensão em 1.

Passo 3

Note que a equação (4) é combinação linear de (1) e (2):
a partir de (1) temos x_{11}=x_{5} e de (2) x_{10}=x_{13}. Substituindo em (4) dá
x_{10}+x_{11}-x_{13}-x_{5} =\;x_{13}+x_{5}-x_{13}-x_{5}=0,
logo (4) não traz restrição nova. Portanto só há três equações independentes: (1), (2) e (3).

Passo 4

Como o sistema efetivamente tem \rank(A)=3, a dimensão do espaço solução é
\dim(S)=13-3=10.

Resposta

10

Exercícios relacionados