Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(6)=9+p(8) é um subespaço vetorial.
II) O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}+a_{33}=5\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III) O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede verificar, em cada um dos três conjuntos abaixo, se ele forma um subespaço vetorial. O conteúdo é definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando I: o conjunto de polinômios p de grau \le2 tais que
p(6)=9 + p(8).
Para ser subespaço, o polinômio zero devia pertencer, mas 0(6)=0 e 0(8)=0 dão 0\neq9. Logo o zero não está no conjunto, portanto I não é subespaço.

Passo 3

Analisando II: o conjunto de matrizes A\in\mathbb{R}^{3\times3} com
a_{22} + a_{33} = 5.
O zero em \mathbb{R}^{3\times3} tem 0+0=0\neq5, então não pertence. Logo II também não é subespaço.

Passo 4

Analisando III: a solução de um sistema linear homogêneo sempre é um subespaço vetorial, pois contém o zero e é fechada em soma e escalar.

Passo 5

Somente a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

E

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