Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-12 \\\\ 14 \\\\ 0 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-12 \\\\ 7 \\\\ 6 \\\\ 10\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois planos afins em \mathbb{R}^4:
P=\mathbf{v}_0+\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}, \quad Q=\mathbf{w}_0+\operatorname{span}\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\},
onde \mathbf{v}_0=(-12,14,0,8), \mathbf{v}_1=(-2,2,3,3), \mathbf{v}_2=(2,-3,3,-1), \mathbf{w}_0=(-12,7,6,10), \mathbf{w}_1=(2,1,-3,-3), \mathbf{w}_2=(0,3,-3,-3).
Queremos o ponto de interseção, ou seja, achar escalares a,b,c,d tais que
\mathbf{v}_0+a\,\mathbf{v}_1+b\,\mathbf{v}_2 =\mathbf{w}_0+c\,\mathbf{w}_1+d\,\mathbf{w}_2.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
-12-2a+2b=-12+2c,
14+2a-3b=7+c+3d,
3a+3b=6-3c-3d,
8+3a-b=10-3c-3d.
Da primeira equação isolamos
c=-a+b.

Passo 3

Substituindo c=-a+b nas outras equações e isolando d numa delas, achamos
d=\frac{3a+7-4b}{3}.
A terceira equação vira
3(a+b+c+d)=6\;\Longrightarrow\;a+b+c+d=2,
e a quarta dá
8+3a-b=10-3(c+d).
Isso leva ao sistema em a,b:
3a+2b=-1, \quad 3a-2b=-5.

Passo 4

Somando as duas equações tem-se
6a=-6\;\Longrightarrow\;a=-1.
Substituindo em 3a+2b=-1 vem b=1. Logo
c=-a+b=2, \quad d=0.

Passo 5

O ponto de interseção é
\mathbf{x}=\mathbf{v}_0 + a\,\mathbf{v}_1 + b\,\mathbf{v}_2 =(-12,14,0,8) +(-1)\,(-2,2,3,3) +1\,(2,-3,3,-1) =(-8,9,0,4).

Resposta

-8 (alternativa (C))

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