Questão 1: (20 pts) Os vetores X_{1}=(1,2,2,1), X_{2}=(2,1,1,2), X_{3}=(1,0,0,1) e X_{4}=(1,1,1,1) são L. I.?
Qual é a dimensão do espaço gerado por X_{1}, X_{2}, X_{3} e X_{4} ?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4,
X_{1}=(1,2,2,1),\quad X_{2}=(2,1,1,2),\quad X_{3}=(1,0,0,1),\quad X_{4}=(1,1,1,1),
e pergunta se eles são linearmente independentes e qual a dimensão do espaço que eles geram.
O conteúdo aqui é álgebra linear: vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz para decidir independência e dimensão do subespaço gerado.

Passo 2

Formamos a matriz A colocando os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O número de colunas é 4, mas para saber quantas delas são efetivamente independentes calculamos o posto de A por eliminação de Gauss.

Passo 3

Aplicamos operações elementares para zerar abaixo de a_{11}=1:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} \implies R_{2}=(0,-3,-2,-1),
R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1} \implies R_{3}=(0,-3,-2,-1),
R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1} \implies R_{4}=(0,0,0,0).
Agora temos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & -2 & -1\\\\ 0 & -3 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}\implies R_{3}=(0,0,0,0).
Sobram duas linhas não-nulas R_{1} e R_{2}, logo o posto de A é
\text{rank}(A)=2.

Passo 4

Como o posto é 2 e temos 4 vetores, eles não podem ser todos independentes (se fossem, o posto seria 4). Assim:
  • Os vetores são linearmente dependentes.
  • A dimensão do espaço gerado por \{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\} é igual ao posto de A, ou seja, 2.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes e a dimensão do subespaço gerado por eles é 2.

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