Questão 2: (30 pts) A matriz B=\left[\begin{array}{cccc}11 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 11 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right] é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 11 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 11 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e pede para saber se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico, depois encontramos os autovalores com suas multiplicidades algébricas e geométricas, e por fim verificamos se a soma das multiplicidades geométricas chega à ordem da matriz.

Passo 2

Como B é block-triangular nos blocos \begin{pmatrix}11&0\\\ 1&11\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}4&0\\\ 1&4\end{pmatrix}, o polinômio característico é
\det(B-\lambda I) = \det\bigl(\begin{pmatrix}11-\lambda&0\\\ 1&11-\lambda\end{pmatrix}\bigr) \cdot \det\bigl(\begin{pmatrix}4-\lambda&0\\\ 1&4-\lambda\end{pmatrix}\bigr).

Passo 3

Cada determinante de bloco é (11-\lambda)^2 e (4-\lambda)^2. Logo,
\chi_B(\lambda)=(11-\lambda)^2\,(4-\lambda)^2.
Os autovalores são \lambda=11 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=4 também com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para \lambda=11\) resolvemos \((B-11I)x=0\). No bloco correspondente isso dá o sistema \[\begin{cases} 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0,\\\\ 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0, \end{cases}
que força x_1=0\] e deixa \(x_2 livre. Logo a dimensão do espaço próprio de 11 é 1 (multiplicidade geométrica 1). O mesmo ocorre para \lambda=4: o bloco gera um só pivô não trivial e a multiplicidade geométrica de 4 também é 1.

Passo 5

A soma das multiplicidades geométricas é 1+1=2, menor que a ordem da matriz 4. Como não temos quatro autovetores linearmente independentes, B não é diagonalizável.

Resposta

A matriz B não é diagonalizável.

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