e pede para saber se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico, depois encontramos os autovalores com suas multiplicidades algébricas e geométricas, e por fim verificamos se a soma das multiplicidades geométricas chega à ordem da matriz.
Passo 2
Como B é block-triangular nos blocos \begin{pmatrix}11&0\\\ 1&11\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}4&0\\\ 1&4\end{pmatrix}, o polinômio característico é
Cada determinante de bloco é (11-\lambda)^2 e (4-\lambda)^2. Logo,
\chi_B(\lambda)=(11-\lambda)^2\,(4-\lambda)^2.
Os autovalores são \lambda=11 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=4 também com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Para \lambda=11\) resolvemos \((B-11I)x=0\). No bloco correspondente isso dá o sistema
\[\begin{cases} 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0,\\\\ 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0, \end{cases}
que força x_1=0\] e deixa \(x_2 livre. Logo a dimensão do espaço próprio de 11 é 1 (multiplicidade geométrica 1). O mesmo ocorre para \lambda=4: o bloco gera um só pivô não trivial e a multiplicidade geométrica de 4 também é 1.
Passo 5
A soma das multiplicidades geométricas é 1+1=2, menor que a ordem da matriz 4. Como não temos quatro autovetores linearmente independentes, B não é diagonalizável.