Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 12 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

Resumindo, queremos o ponto de interseção de dois planos afins em \mathbb{R}^4:
P_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 12\\\ 2\end{pmatrix} + \operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\},
P_2 = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} + \operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\}.
O conteúdo é resolver um sistema linear para encontrar escalares a,b,c,d tais que
p_1 + a\,v_1 + b\,v_2 \;=\; p_2 + c\,w_1 + d\,w_2,
e então extrair a primeira coordenada desse ponto.

Passo 2

Escrevendo cada coordenada, com
p_1=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 12\\\ 2\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
p_2=\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix},\; w_1=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\; w_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix},
temos o sistema
-1 + a + b = -5 + c - d,
0 + 0\cdot a + 2b = 0 -2c + 2d,
12 + 2a - b = 3c + 3d,
2 + 3a + b = -2 -2c + d.

Passo 3

Da segunda equação fica
2b = -2c + 2d \quad\Longrightarrow\quad b = -\,c + d.

Passo 4

Substituindo b=-c+d nas outras três equações, obtemos três fórmulas para a:
(I) \;a = 2(c-d)-4,
(II) \;a = \frac{-c-4}{3},
(III) \;a = c +2d -6.

Passo 5

Igualando (I) e (II):
2(c-d)-4 = \frac{-c-4}{3} \;\Longrightarrow\; 7c -6d = 8.
Igualando (I) e (III):
2(c-d)-4 = c+2d-6 \;\Longrightarrow\; c = 4d - 2.
Dessas, segue d=1, c=2, então b = -2+1 = -1 e a = -2.

Passo 6

O ponto de interseção é
x = p_1 + a\,v_1 + b\,v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 12\\\ 2\end{pmatrix} +(-2)\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} +(-1)\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\\ -2\\\ 9\\\ -5\end{pmatrix}.
Logo \,x_1 = -4.

Resposta

(E) -4

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