Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -4 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -4 \\\\ 5 \\\\ -9\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. O conteúdo é Álgebra Linear – mais precisamente span, independência linear e posto de matriz. Para resolver, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs (posto).

Passo 2

Montamos a matriz M de 4\times4 cujas colunas são os vetores dados:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ -2 & -1 & 1 & -4 \\\\ 2 & 3 & -4 & 5 \\\\ -3 & 2 & 1 & -9 \end{pmatrix}.
Aplicando as operações R_2\leftarrow R_2+2R_1, R_3\leftarrow R_3-2R_1 e R_4\leftarrow R_4+3R_1, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Em seguida, multiplicamos R_2 por -1 e eliminamos na coluna 2 usando R_3\leftarrow R_3-3R_2 e R_4\leftarrow R_4-2R_2, chegando a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}.
Por fim, normalizamos R_3 e zeramos em R_4 com R_4\leftarrow R_4-3R_3, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

A forma escalonada mostra três linhas não-nulas, ou seja, três pivôs. Como o posto da matriz é o número de pivôs, concluímos que
\dim\bigl(\span\{\dots\}\bigr)=3.

Resposta

(D) 3

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