Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes tres pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por trés pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os trés pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando trés pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 14.1
(B) 15.1
(C) 16.1
(D) 17.1
(E) 18.1
(F) 19.1
(G) 20.1
(H) 21.1
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por trés pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os trés pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando trés pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 14.1
(B) 15.1
(C) 16.1
(D) 17.1
(E) 18.1
(F) 19.1
(G) 20.1
(H) 21.1
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro
e o raio
do círculo que passa pelos pontos
,
e
. Vamos usar a ideia de que o centro é a interseção das mediatrizes de dois segmentos formados por esses pontos, e depois calcular
como a distância do centro a qualquer um dos pontos.
Passo 2
Consideremos os pontos
e
.
A mediatriz de passa pelo ponto médio
A mediatriz de
e tem coeficiente angular perpendicular ao de
. O coeficiente de
é
logo a mediatriz tem coeficiente
. Sua equação é
ou seja
Passo 3
Agora considere
e
.
O ponto médio é
O ponto médio é
o coeficiente de
é
então a mediatriz tem coeficiente
. Sua equação é
isto é
Passo 4
Determinar o centro
Igualando as duas expressões de
.
Passo 5
O raio é a distância do centro a, por exemplo,
:
Resposta
O centro é
e o raio é aproximadamente
, correspondendo à alternativa (D).