Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathrm{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c \in x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes tres pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-1,5),(2,2) e (5,-4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por trés pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os trés pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando trés pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 14.1
(B) 15.1
(C) 16.1
(D) 17.1
(E) 18.1
(F) 19.1
(G) 20.1
(H) 21.1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa pelos pontos (-1,5), (2,2) e (5,-4). Vamos usar a ideia de que o centro é a interseção das mediatrizes de dois segmentos formados por esses pontos, e depois calcular r como a distância do centro a qualquer um dos pontos.

Passo 2

Consideremos os pontos A(-1,5) e B(2,2).
A mediatriz de AB passa pelo ponto médio
M_{AB} = \bigl(\tfrac{-1+2}{2},\,\tfrac{5+2}{2}\bigr) = \bigl(0{,}5,\;3{,}5\bigr)
e tem coeficiente angular perpendicular ao de AB. O coeficiente de AB é
m_{AB} = \frac{2-5}{2-(-1)} = -1,
logo a mediatriz tem coeficiente m_{\perp} = 1. Sua equação é
y - 3{,}5 = 1\,(x - 0{,}5),
ou seja
y = x + 3.

Passo 3

Agora considere B(2,2) e C(5,-4).
O ponto médio é
M_{BC} = \bigl(\tfrac{2+5}{2},\,\tfrac{2+(-4)}{2}\bigr) = \bigl(3{,}5,\;-1\bigr),
o coeficiente de BC é
m_{BC} = \frac{-4-2}{5-2} = -2,
então a mediatriz tem coeficiente m_{\perp} = \tfrac12. Sua equação é
y + 1 = \tfrac12\,(x - 3{,}5),
isto é
y = \tfrac{x}{2} - 2{,}75.

Passo 4

Determinar o centro (x_{0},y_{0})\) é resolver o sistema \[\begin{cases} y = x + 3,\\\ y = \tfrac{x}{2} - 2{,}75. \end{cases}
Igualando as duas expressões de y\]: \[x + 3 = \tfrac{x}{2} - 2{,}75 \;\Longrightarrow\; \tfrac{x}{2} = -5{,}75 \;\Longrightarrow\; x = -11{,}5,\] e então \[y = -11{,}5 + 3 = -8{,}5.\] Logo o centro é \(\bigl(-11{,}5,\,-8{,}5\bigr).

Passo 5

O raio é a distância do centro a, por exemplo, A(-1,5):
r = \sqrt{\bigl(-11{,}5 - (-1)\bigr)^{2} + \bigl(-8{,}5 - 5\bigr)^{2}} = \sqrt{(-10{,}5)^{2} + (-13{,}5)^{2}} = \sqrt{110{,}25 + 182{,}25} = \sqrt{292{,}5} \approx 17{,}1.

Resposta

O centro é \bigl(-11{,}5,\,-8{,}5\bigr) e o raio é aproximadamente 17{,}1, correspondendo à alternativa (D).

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