Questão 2 (2,0 pontos)

Determine o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao eixo das abscissas ( x ) é a metade da distância ao eixo das ordenadas (y).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao eixo das abscissas é metade da distância ao eixo das ordenadas. Isso é um problema de geometria analítica no plano, em que usamos as fórmulas de distância de um ponto (x,y) aos eixos coordenados: a distância ao eixo x é \lvert y\rvert e ao eixo y é \lvert x\rvert.

Passo 2

Escrevemos a condição dada em forma de equação:
\lvert y\rvert = \tfrac12\,\lvert x\rvert.

Passo 3

Para eliminar o valor absoluto consideramos os dois sinais de x e y. A equação \lvert y\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{2} implica
y = \frac{x}{2} \quad\text{ou}\quad y = -\frac{x}{2}.

Passo 4

Cada uma dessas equações é uma reta que passa pela origem com declive \frac12 ou -\frac12. Portanto, o lugar geométrico é a união dessas duas retas. Em forma implícita, podemos também escrever
x^2 - 4\,y^2 = 0,
que é a equação degenerada de uma hipérbole composta por duas retas.

Resposta

A união das retas
y = \frac{x}{2} \quad\text{e}\quad y = -\frac{x}{2}.

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