Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II e III saio verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II e III saio verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e considera dois sistemas lineares:
O tema é dependência linear e solução de sistemas: para
(homogêneo) relacionamos com LI/LD de
; para
(não homogêneo) vemos se
está no span
.
Passo 2
Analisando
: é o sistema homogêneo
Por teoria,
é LI se e só se a única solução é trivial
; se
é LD, há solução não trivial e, como são 3 incógnitas, infinitas soluções.
Passo 3
Afirmativa I: “Se
é LI, então
não tem solução.”
Se é LI,
são independentes, logo
não pode ser combinação linear de
. Assim
Se
não admite solução. I é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa II: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
Se é LD, existe relação
com algum . Então
Se
com algum
mostrando que
está no span
. Se, além disso,
forem independentes, o sistema
terá exatamente uma solução
. Logo II é verdadeira.
Passo 5
Afirmativa III: “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
Mas quando é LI o homogêneo
só tem a solução trivial, ou seja, única, não infinita. Assim III é falsa.
Mas quando
Resposta
Apenas I e II são verdadeiras. Portanto, a alternativa correta é (C).