Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II - Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
III - Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II e III saio verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^7 e considera dois sistemas lineares:
S_1:\begin{bmatrix}\vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3\mid \vec 0\end{bmatrix}, \quad S_2:\begin{bmatrix}\vec v_1 & \vec v_2\mid \vec v_3\end{bmatrix}.
O tema é dependência linear e solução de sistemas: para S_1 (homogêneo) relacionamos com LI/LD de \beta; para S_2 (não homogêneo) vemos se \vec v_3 está no span \{\vec v_1,\vec v_2\}.

Passo 2

Analisando S_1: é o sistema homogêneo
x_1\vec v_1 + x_2\vec v_2 + x_3\vec v_3 = \vec 0.
Por teoria, \beta é LI se e só se a única solução é trivial (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0); se \beta é LD, há solução não trivial e, como são 3 incógnitas, infinitas soluções.

Passo 3

Afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_2 não tem solução.”
Se \beta é LI, \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} são independentes, logo \vec v_3 não pode ser combinação linear de \vec v_1,\vec v_2. Assim
x_1\vec v_1 + x_2\vec v_2 = \vec v_3
não admite solução. I é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa II: “Se \beta é LD, então S_2 pode ter solução única.”
Se \beta é LD, existe relação \displaystyle c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+c_3\vec v_3=\vec0
com algum c_3\neq0. Então
\vec v_3 = -\frac{c_1}{c_3}\vec v_1 - \frac{c_2}{c_3}\vec v_2,
mostrando que \vec v_3 está no span \{\vec v_1,\vec v_2\}. Se, além disso, \vec v_1,\vec v_2 forem independentes, o sistema S_2 terá exatamente uma solução (x_1,x_2)=(-c_1/c_3,-c_2/c_3). Logo II é verdadeira.

Passo 5

Afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_1 pode ter infinitas soluções.”
Mas quando \beta é LI o homogêneo S_1 só tem a solução trivial, ou seja, única, não infinita. Assim III é falsa.

Resposta

Apenas I e II são verdadeiras. Portanto, a alternativa correta é (C).

Exercícios relacionados