Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 5 \\\\ -3 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-12 \\\\ 7 \\\\ 5 \\\\ 4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9
(G) -8
(H) -7

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4:
P_1:\;x = a + s\,u + t\,v,\quad a=\begin{pmatrix}-5\\\ 5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix},\;u=\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\;v=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},
P_2:\;x = b + p\,w + q\,z,\quad b=\begin{pmatrix}-12\\\ 7\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix},\;w=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\;z=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}.
Queremos o ponto de interseção comum, ou seja resolver
a + s\,u + t\,v \;=\; b + p\,w + q\,z
para (s,t,p,q) e então obter x.

Passo 2

Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} -5 -2s + t = -12 -3p -3q,\\\\ 5 -3s -2t = 7 - p + q,\\\\ -3 +3s - t = 5 +3q,\\\\ 1 = 4 - p +3q. \end{cases}

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão, da quarta equação tiramos
p -3q = 3.
E as três primeiras passam a ser
-2s + t +3p +3q = -7,
-3s -2t + p - q = 2,
3s - t -3q = 8.

Passo 4

Da equação p -3q=3 segue p=3+3q. Substituindo nas outras três temos um sistema em (s,t,q):
-2s + t +12q = -16,\quad -3s -2t +2q = -1,\quad 3s - t -3q = 8.

Passo 5

Da primeira e da terceira expressamos \;t = 2s -12q -16 e \;t = 3s -3q -8. Igualando dá
s +9q = -8 \quad\Rightarrow\quad s=-8-9q.
Substituindo em -3s -2t +2q = -1 resulta q=-1, logo
q=-1,\;s=1,\;t=-2,\;p=3+3(-1)=0.
Então o ponto é
x = a + s\,u + t\,v = \begin{pmatrix}-5\\\ 5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\\ 6\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

O valor de x_{1} é -9, ou seja alternativa (F).

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