Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
,
e (2, 4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 9.2
(B) 10.2
(C) 11.2
(D) 12.2
(E) 13.2
(F) 14.2
(G) 15.2
(H) 16.2
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 9.2
(B) 10.2
(C) 11.2
(D) 12.2
(E) 13.2
(F) 14.2
(G) 15.2
(H) 16.2
Passo 1
O enunciado pede o centro
e o raio
do círculo que passa pelos pontos
,
e
. Vamos usar a forma geral da circunferência
em que
Substituindo os três pontos obtemos um sistema linear em
.
Passo 2
Substituindo
,
e
em
e simplificando, chega-se a
Passo 3
Eliminando
entre as duas primeiras equações, fazemos
, o que dá
Passo 4
Com
, da primeira equação
e da terceira
. Igualando-as,
e então
Passo 5
Dos valores de
e
obtemos o centro e o raio:
Passo 6
A aproximação mais próxima ao valor de
entre as opções dadas é
.
Resposta
(C) 11.2