Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,3), (5,3) e (2, 4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 9.2
(B) 10.2
(C) 11.2
(D) 12.2
(E) 13.2
(F) 14.2
(G) 15.2
(H) 16.2

Passo 1

O enunciado pede o centro \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e o raio r do círculo que passa pelos pontos (-5,3), (5,3) e (2,4). Vamos usar a forma geral da circunferência
x^{2}+y^{2}+a\,x+b\,y=c
em que
a=-2x_{0},\quad b=-2y_{0},\quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Substituindo os três pontos obtemos um sistema linear em a,b,c.

Passo 2

Substituindo (-5,3), (5,3) e (2,4) em x^{2}+y^{2}+a\,x+b\,y=c e simplificando, chega-se a
34 - 5a + 3b = c,
34 + 5a + 3b = c,
20 + 2a + 4b = c.

Passo 3

Eliminando c entre as duas primeiras equações, fazemos \bigl(34+5a+3b\bigr)-\bigl(34-5a+3b\bigr)=0, o que dá
10a = 0\quad\Longrightarrow\quad a=0.

Passo 4

Com a=0, da primeira equação c=34+3b e da terceira c=20+4b. Igualando-as,
34+3b = 20+4b \quad\Longrightarrow\quad b = 14,
e então
c = 20 + 4\cdot14 = 76.

Passo 5

Dos valores de a e b obtemos o centro e o raio:
x_{0} = -\frac{a}{2} = 0, \quad y_{0} = -\frac{b}{2} = -7,
r = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + c} = \sqrt{0^{2} + (-7)^{2} + 76} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\approx 11{,}18.

Passo 6

A aproximação mais próxima ao valor de r entre as opções dadas é 11{,}2.

Resposta

(C) 11.2

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