\left|\begin{array}{lll}5 & 1 & 3 \\\\ 3 x & 0 & 1 \\\\ 7 x & 2 & 1\end{array}\right|=100

Passo 1

O enunciado dá o determinante da matriz 3\times3 e pede os valores de x que satisfazem a igualdade. Informações fornecidas:
  • A matriz é
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3\\[4pt] 3x & 0 & 1\\[4pt] 7x & 2 & 1 \end{pmatrix}
  • A equação é \left|\begin{array}{lll}5 & 1 & 3 \\\\ 3 x & 0 & 1 \\\\ 7 x & 2 & 1\end{array}\right|=\;100.
Objetivo: achar x tal que o determinante dessa matriz seja \;100.]

Passo 2

Vou lembrar uma forma prática de calcular o determinante de uma matriz 3\times3. Para
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + bdi + afh).
Explicando de leve: pega-se a soma de três produtos diagonais “para frente” e subtrai a soma de três produtos diagonais “para trás”. É uma regra muito usada (chamada regra de Sarrus) e funciona bem para 3\times3.]

Passo 3

Agora aplico essa fórmula à matriz dada, identificando os coeficientes:
a=5,\quad b=1,\quad c=3,\quad d=3x,\quad e=0,\quad f=1,\quad g=7x,\quad h=2,\quad i=1.
Calculo os termos positivos:
aei = 5\cdot 0\cdot 1 = 0,
bfg = 1\cdot 1\cdot 7x = 7x,
cdh = 3\cdot (3x)\cdot 2 = 18x.
A soma dos positivos é
0 + 7x + 18x = 25x.
Agora os termos negativos:
ceg = 3\cdot 0\cdot 7x = 0,
bdi = 1\cdot (3x)\cdot 1 = 3x,
afh = 5\cdot 1\cdot 2 = 10.
A soma dos negativos é
0 + 3x + 10 = 3x + 10.
Portanto o determinante vale
\det = 25x - (3x + 10) = 25x - 3x - 10 = 22x - 10.

Passo 4

Agora uso a condição dada pelo enunciado: \det = 100. Assim temos a equação em x:
22x - 10 = 100.
Resolvo passo a passo:
22x = 100 + 10 = 110,
x = \frac{110}{22} = 5.

Passo 5

Faço um checagem rápida substituindo x=5 na matriz para confirmar que o determinante realmente fica \;100. Com x=5 a matriz é
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3\\[4pt] 15 & 0 & 1\\[4pt] 35 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula:
positivos: 5\cdot 0\cdot 1 = 0, 1\cdot 1\cdot 35 = 35, 3\cdot 15\cdot 2 = 90. Soma = 125.
negativos: 3\cdot 0\cdot 35 = 0, 1\cdot 15\cdot 1 = 15, 5\cdot 1\cdot 2 = 10. Soma = 25.
Determinante = 125-25=100. Está confirmado.]

Resposta

x=5

Exercícios relacionados