Informação relevante: queremos o número de vetores linearmente independentes entre esses quatro — isso é exatamente a dimensão do espaço gerado por eles.]
Passo 2
Estratégia prática para obter a dimensão: colocamos os vetores como colunas de uma matriz A e calculamos o posto (rank) de A. O posto é o número de colunas linearmente independentes e coincide com a dimensão do span. Montamos a matriz A com as colunas v_1,v_2,v_3,v_4:
Explico rapidamente o que faremos: usaremos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar A numa forma escalonada. Cada linha-pivô não-nula representa um grau de liberdade (um pivô) e o número de pivôs é o posto. Agora aplico as operações passo a passo.
Primeira operação: eliminar entradas abaixo do primeiro pivô (que está em (1,1)). Faço
Podemos limpar acima dos pivôs para ver claramente os pivôs independentes. Usamos \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1-2\text{R}_3 e depois \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+3\text{R}_2 para zerar as colunas 2 e 3 em \text{R}_1:
primeiro \text{R}_1-2\text{R}_3:
\text{R}_1=(1,-3,2,-1)-2(0,0,1,-1)=(1,-3,0,1).
depois \text{R}_1+3\text{R}_2:
\text{R}_1=(1,-3,0,1)+3(0,1,0,2)=(1,0,0,7).
A matriz reduzida (forma escalonada reduzida por linhas) é
Contamos os pivôs (linhas não-nulas com pivô): há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Portanto o posto de A é 3. Conclusão: os quatro vetores geram um subespaço de dimensão 3, isto é, apenas três deles são linearmente independentes e o quarto é combinação linear dos outros três.