Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ -8\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -4 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores abaixo (ou seja, a dimensão do span deles). Os vetores fornecidos são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-4\\[4pt]-1\\[4pt]-8\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]-4\\[4pt]-5\end{pmatrix}.
Informação relevante: queremos o número de vetores linearmente independentes entre esses quatro — isso é exatamente a dimensão do espaço gerado por eles.]

Passo 2

Estratégia prática para obter a dimensão: colocamos os vetores como colunas de uma matriz A e calculamos o posto (rank) de A. O posto é o número de colunas linearmente independentes e coincide com a dimensão do span. Montamos a matriz A com as colunas v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -4 & 4 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -4\\[4pt] 2 & -8 & 3 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico rapidamente o que faremos: usaremos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar A numa forma escalonada. Cada linha-pivô não-nula representa um grau de liberdade (um pivô) e o número de pivôs é o posto. Agora aplico as operações passo a passo.
Primeira operação: eliminar entradas abaixo do primeiro pivô (que está em (1,1)). Faço
\text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-2\text{R}_1,\qquad \text{R}_4\leftarrow \text{R}_4-2\text{R}_1.
Calculemos:
\text{R}_2 = (2,-4,4,2)-2(1,-3,2,-1)=(0,2,0,4),
\text{R}_4 = (2,-8,3,-5)-2(1,-3,2,-1)=(0,-2,-1,-3).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos a linha 2 para criar um pivô simples em (2,2). Multiplicamos \text{R}_2 por \tfrac{1}{2}:
\text{R}_2\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_2 = (0,1,0,2).
Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Eliminamos as entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô em (2,2)). Para as linhas 3 e 4 faço:
\text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_2,\qquad \text{R}_4\leftarrow \text{R}_4+2\text{R}_2.
Cálculos:
\text{R}_3 = (0,-1,2,-4)+(0,1,0,2)=(0,0,2,-2),
\text{R}_4 = (0,-2,-1,-3)+2(0,1,0,2)=(0,0,-1,1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora olhamos a submatriz das linhas 3–4 e colunas 3–4. Temos um pivô potencial em (3,3) com valor 2. Tomamos
\text{R}_3\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_3 = (0,0,1,-1).
Em seguida eliminamos a entrada em (4,3) usando \text{R}_4\leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_3:
\text{R}_4 = (0,0,-1,1)+(0,0,1,-1)=(0,0,0,0).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Podemos limpar acima dos pivôs para ver claramente os pivôs independentes. Usamos \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1-2\text{R}_3 e depois \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+3\text{R}_2 para zerar as colunas 2 e 3 em \text{R}_1:
primeiro \text{R}_1-2\text{R}_3:
\text{R}_1=(1,-3,2,-1)-2(0,0,1,-1)=(1,-3,0,1).
depois \text{R}_1+3\text{R}_2:
\text{R}_1=(1,-3,0,1)+3(0,1,0,2)=(1,0,0,7).
A matriz reduzida (forma escalonada reduzida por linhas) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Contamos os pivôs (linhas não-nulas com pivô): há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Portanto o posto de A é 3. Conclusão: os quatro vetores geram um subespaço de dimensão 3, isto é, apenas três deles são linearmente independentes e o quarto é combinação linear dos outros três.

Resposta

3

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