O enunciado pede a dimensão do conjunto S\subset\mathbb{R}^{17} composto pelos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{17}\right) que satisfazem as quatro igualdades abaixo. As informações dadas são exatamente essas quatro igualdades:
Assim S é o espaço solução desse sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^{17}.]
Passo 3
Explico um conceito-chave que vamos usar: para um sistema linear homogêneo com n incógnitas, o espaço solução é um subespaço de \mathbb{R}^{n} cuja dimensão é dada por
\text{dimensão do espaço solução} = n - \text{posto do sistema},ãççã
onde o “posto” (ou rank) é o número de equações linearmente independentes entre as que formam o sistema. Intuição prática: cada equação linearmente independente reduz em 1 o número de graus de liberdade (variáveis livres). Exemplo simples: em \mathbb{R}^{3}, uma equação independente deixa uma reta de soluções de dimensão 2 (porque 3-1=2).
Passo 4
Vamos verificar a independência das quatro equações. Observamos que a quarta equação pode ser escrita como combinação linear das duas primeiras. De fato,
que é exatamente a quarta equação. Portanto a quarta equação é linearmente dependente das duas primeiras.
Passo 5
Concluímos que, entre as quatro equações, apenas três são linearmente independentes: as duas primeiras e a terceira. Para ver por que a terceira não é combinação das outras duas, note que a terceira envolve apenas x_{3} e x_{4}, variáveis que não aparecem nas primeiras duas; assim não pode ser obtida por combinação das primeiras. Logo o posto do sistema é
\text{posto} = 3.
Passo 6
Aplicando a fórmula da Passo 3 com n=17 incógnitas, obtemos a dimensão de S:
\dim(S) = 17 - 3 = 14.
Intuitivamente, há \,3, restrições independentes, então sobraram \,14, graus de liberdade (variáveis livres).