Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{17}\right) \in \mathbb{R}^{17} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{7}=x_{2} \\\ x_{14}=x_{6} \\\ x_{3}=x_{4} \\\ x_{7}-x_{14}=x_{2}-x_{6} \end{array}\right.
A dimensão de S é:

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do conjunto S\subset\mathbb{R}^{17} composto pelos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{17}\right) que satisfazem as quatro igualdades abaixo. As informações dadas são exatamente essas quatro igualdades:
\left\{\begin{array}{l} x_{7}=x_{2} \\[4pt] x_{14}=x_{6} \\[4pt] x_{3}=x_{4} \\[4pt] x_{7}-x_{14}=x_{2}-x_{6} \end{array}\right.]

Passo 2

Reescrevemos cada igualdade como uma equação linear homogênea (colocando tudo no lado esquerdo igual a zero), para ver melhor as restrições:
\left\{\begin{array}{l} -x_{2}+x_{7}=0 \\[4pt] -x_{6}+x_{14}=0 \\[4pt] x_{3}-x_{4}=0 \\[4pt] -x_{2}+x_{6}+x_{7}-x_{14}=0 \end{array}\right.
Assim S é o espaço solução desse sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^{17}.]

Passo 3

Explico um conceito-chave que vamos usar: para um sistema linear homogêneo com n incógnitas, o espaço solução é um subespaço de \mathbb{R}^{n} cuja dimensão é dada por
\text{dimensão do espaço solução} = n - \text{posto do sistema},ãççã
onde o “posto” (ou rank) é o número de equações linearmente independentes entre as que formam o sistema. Intuição prática: cada equação linearmente independente reduz em 1 o número de graus de liberdade (variáveis livres). Exemplo simples: em \mathbb{R}^{3}, uma equação independente deixa uma reta de soluções de dimensão 2 (porque 3-1=2).

Passo 4

Vamos verificar a independência das quatro equações. Observamos que a quarta equação pode ser escrita como combinação linear das duas primeiras. De fato,
(-x_{2}+x_{7}) - (-x_{6}+x_{14}) = -x_{2}+x_{7}+x_{6}-x_{14} = -x_{2}+x_{6}+x_{7}-x_{14},
que é exatamente a quarta equação. Portanto a quarta equação é linearmente dependente das duas primeiras.

Passo 5

Concluímos que, entre as quatro equações, apenas três são linearmente independentes: as duas primeiras e a terceira. Para ver por que a terceira não é combinação das outras duas, note que a terceira envolve apenas x_{3} e x_{4}, variáveis que não aparecem nas primeiras duas; assim não pode ser obtida por combinação das primeiras. Logo o posto do sistema é
\text{posto} = 3.

Passo 6

Aplicando a fórmula da Passo 3 com n=17 incógnitas, obtemos a dimensão de S:
\dim(S) = 17 - 3 = 14.
Intuitivamente, há \,3, restrições independentes, então sobraram \,14, graus de liberdade (variáveis livres).

Resposta

14

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