Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb{R}^4
P_1:\;x=\begin{bmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\\\ 8\end{bmatrix} +a\begin{bmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 3\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad P_2:\;x=\begin{bmatrix}-5\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}-2\\\ -2\\\ 2\\\ 3\end{bmatrix} +d\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -3\\\ 2\end{bmatrix}.
Queremos o ponto de interseção, isto é, valores de a,b,c,d tais que
\begin{bmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\\\ 8\end{bmatrix} +a\begin{bmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}-2\\\ -2\\\ 2\\\ 3\end{bmatrix} +d\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -3\\\ 2\end{bmatrix}.

Passo 2

Igualando cada coordenada, obtemos o sistema
-3 + b = -5 -2c + d,
-1 - a = -2 -2c + 3d,
1 + 3b = 1 + 2c - 3d,
8 + a + 3b = 1 + 3c + 2d.

Passo 3

Da terceira equação vem
3b = 2c - 3d \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{2c - 3d}{3}.
Da segunda,
-1 - a = -2 -2c + 3d \quad\Longrightarrow\quad a = 1 + 2c - 3d.

Passo 4

Substituindo b e a nas primeira e quarta equações, reduzimos a um sistema em c,d:
4c - 3d = -3,
c - 8d = -8.
Resolvendo, achamos d=1 e c=0. Então
b = \frac{2\cdot0 - 3\cdot1}{3} = -1, \quad a = 1 + 2\cdot0 - 3\cdot1 = -2.

Passo 5

O ponto de interseção vale
x_1 = -3 + b = -3 - 1 = -4.

Resposta

(B) -4

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