Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-1,3), (1,1) e (4,12). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(2).
(a) 4,2
(b) 5,0
(c) 6,4
(d) 7,3
(e) Não sei
(a) 4,2
(b) 5,0
(c) 6,4
(d) 7,3
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano:
,
e
. Pede para:
- Encontrar o polinômio
que interpola esses três pontos usando o método de Lagrange. - Determinar o valor de
.
Informações relevantes dadas:
- Pontos:
, , . - Deve-se usar interpolação de Lagrange (o enunciado pediu explicitamente esse método).
Passo 2
Vou explicar a fórmula de Lagrange passo a passo, com calma. A ideia: para três pontos distintos
existe um polinômio de grau ≤ 2 que passa por eles; a forma de Lagrange escreve esse polinômio como soma das ordenadas vezes polinômios base que valem 1 no ponto correspondente e 0 nos outros pontos.
A fórmula geral para três pontos é
onde cada polinômio base
é dado por
Explicando:
é um produto com dois fatores (porque temos 3 pontos). Cada fator tem a forma
. No ponto
temos
(pois cada fator é
), e em
com
aparece um fator
, logo
. Assim
.
Passo 3
Agora aplico a fórmula aos pontos dados. Primeiro identifico os
e calculo os denominadores
que são constantes:
Para
com
:
Produto dos denominadores:
.
Para
com
:
Produto:
.
Para
com
:
Produto:
.
Passo 4
Agora escrevo explicitamente cada
usando os denominadores que calculei:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora monto
. Substituindo
,
,
:
Passo 6
Agora vou expandir e simplificar termo a termo, mostrando as contas para você poder fazer na prova sem calculadora:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Para somar facilmente, passo tudo para um denominador comum. O mínimo comum múltiplo de
é
. Colocando cada termo com denominador
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando numeradores:
Assim
Dividindo numerador e denominador por
para simplificar:
Passo 8
Vamos checar rapidamente que esse polinômio realmente interpola os pontos dados (uma verificação rápida que dá segurança na prova):
Para
:
confere com
.
Para
:
confere com
.
Para
:
confere com
.
Tudo certo!
Tudo certo!
Passo 9
Agora calcule
. Use a forma simplificada
. Substituindo
:
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