Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-1,3), (1,1) e (4,12). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(2).
(a) 4,2
(b) 5,0
(c) 6,4
(d) 7,3
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano: (-1,3), (1,1) e (4,12). Pede para:
  • Encontrar o polinômio p que interpola esses três pontos usando o método de Lagrange.
  • Determinar o valor de p(2).
Informações relevantes dadas:
  • Pontos: (x_0,y_0)=(-1,3), (x_1,y_1)=(1,1), (x_2,y_2)=(4,12).
  • Deve-se usar interpolação de Lagrange (o enunciado pediu explicitamente esse método).

Passo 2

Vou explicar a fórmula de Lagrange passo a passo, com calma. A ideia: para três pontos distintos x_0,x_1,x_2 existe um polinômio de grau ≤ 2 que passa por eles; a forma de Lagrange escreve esse polinômio como soma das ordenadas vezes polinômios base que valem 1 no ponto correspondente e 0 nos outros pontos.
A fórmula geral para três pontos é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,\ell_i(x)
onde cada polinômio base \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: \ell_i(x) é um produto com dois fatores (porque temos 3 pontos). Cada fator tem a forma \frac{x-x_j}{x_i-x_j}. No ponto x=x_i temos \ell_i(x_i)=1 (pois cada fator é 1), e em x=x_j com j\ne i aparece um fator 0, logo \ell_i(x_j)=0. Assim p(x_i)=y_i.

Passo 3

Agora aplico a fórmula aos pontos dados. Primeiro identifico os x_i e calculo os denominadores (x_i-x_j) que são constantes:
Para i=0 com x_0=-1:
x_0-x_1 = -1-1 = -2,\qquad x_0-x_2=-1-4=-5.
Produto dos denominadores: (-2)\cdot(-5)=10.
Para i=1 com x_1=1:
x_1-x_0 = 1-(-1)=2,\qquad x_1-x_2=1-4=-3.
Produto: 2\cdot(-3)=-6.
Para i=2 com x_2=4:
x_2-x_0 = 4-(-1)=5,\qquad x_2-x_1=4-1=3.
Produto: 5\cdot3=15.

Passo 4

Agora escrevo explicitamente cada \ell_i(x) usando os denominadores que calculei:
Para i=0:
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-1)(x-4)}{10}.
Para i=1:
\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x+1)(x-4)}{2\cdot(-3)}=-\frac{(x+1)(x-4)}{6}.
Para i=2:
\ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{15}.

Passo 5

Agora monto p(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x). Substituindo y_0=3, y_1=1, y_2=12:
p(x)=3\cdot\frac{(x-1)(x-4)}{10} \;+\; 1\cdot\Big(-\frac{(x+1)(x-4)}{6}\Big) \;+\; 12\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{15}.

Passo 6

Agora vou expandir e simplificar termo a termo, mostrando as contas para você poder fazer na prova sem calculadora:
Primeiro termo:
3\cdot\frac{(x-1)(x-4)}{10}=3\cdot\frac{x^2-5x+4}{10}=\frac{3x^2-15x+12}{10}.
Segundo termo:
-\frac{(x+1)(x-4)}{6}=-\frac{x^2-3x-4}{6}=\frac{-x^2+3x+4}{6}.
Terceiro termo:
12\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{15}=12\cdot\frac{x^2-1}{15}=\frac{12x^2-12}{15}=\frac{4x^2-4}{5}.

Passo 7

Para somar facilmente, passo tudo para um denominador comum. O mínimo comum múltiplo de 10,6,5 é 30. Colocando cada termo com denominador 30:
Primeiro termo:
\frac{3x^2-15x+12}{10}=\frac{9x^2-45x+36}{30}.
Segundo termo:
\frac{-x^2+3x+4}{6}=\frac{-5x^2+15x+20}{30}.
Terceiro termo:
\frac{4x^2-4}{5}=\frac{24x^2-24}{30}.
Somando numeradores:
(9x^2-45x+36)+(-5x^2+15x+20)+(24x^2-24) = 28x^2-30x+32.
Assim
p(x)=\frac{28x^2-30x+32}{30}.
Dividindo numerador e denominador por 2 para simplificar:
p(x)=\frac{14x^2-15x+16}{15}.

Passo 8

Vamos checar rapidamente que esse polinômio realmente interpola os pontos dados (uma verificação rápida que dá segurança na prova):
Para x=-1:
14(-1)^2-15(-1)+16=14+15+16=45\quad\Rightarrow\quad p(-1)=\frac{45}{15}=3,
confere com y_0=3.
Para x=1:
14(1)^2-15(1)+16=14-15+16=15\quad\Rightarrow\quad p(1)=\frac{15}{15}=1,
confere com y_1=1.
Para x=4:
14\cdot16-15\cdot4+16=224-60+16=180\quad\Rightarrow\quad p(4)=\frac{180}{15}=12,
confere com y_2=12.
Tudo certo!

Passo 9

Agora calcule p(2). Use a forma simplificada p(x)=\dfrac{14x^2-15x+16}{15}. Substituindo x=2:
14\cdot 2^2 -15\cdot 2 +16 = 14\cdot 4 -30 +16 =56-30+16=42.
Logo
p(2)=\frac{42}{15}=\frac{14}{5}=2,8.

Resposta

p(2)=\frac{14}{5}=2,8

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