Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-3,5),(0,-1) e (2,3).
Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(1).
(a) 0,5
(b) 1,3
(c) 1,9
(d) 2,7
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano: (-3,5), (0,-1) e (2,3). Pede para encontrar o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange e, então, determinar p(1). As alternativas fornecidas são:
(a) 0,5
(b) 1,3
(c) 1,9
(d) 2,7
(e) Não sei

Passo 2

Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange. Aqui vai a ideia e a fórmula de forma bem explicada: se temos três pontos distintos (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por esses pontos e ele pode ser escrito como
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio básico L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: y_i é a ordenada do ponto i, x_i é a abscissa do ponto i. O papel de L_i(x) é ser igual a 1 quando x=x_i e igual a 0 quando x é qualquer outra abscissa x_j ( j\ne i). Assim p(x) combina os y_i com esses pesos para passar exatamente pelos três pontos.

Passo 3

Identifico os dados concretos:
x_0=-3,\; y_0=5;\qquad x_1=0,\; y_1=-1;\qquad x_2=2,\; y_2=3.

Passo 4

Calculo L_0(1). Pela definição,
L_0(1)=\frac{1-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{1-x_2}{x_0-x_2}.
Substituindo x_1=0, x_2=2, x_0=-3:
L_0(1)=\frac{1-0}{-3-0}\cdot\frac{1-2}{-3-2} =\frac{1}{-3}\cdot\frac{-1}{-5}.
Agora simplifico sinais e frações:
\frac{1}{-3}\cdot\frac{-1}{-5}=\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{15}.

Passo 5

Calculo L_1(1):
L_1(1)=\frac{1-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{1-x_2}{x_1-x_2}.
Substituindo x_0=-3, x_1=0, x_2=2:
L_1(1)=\frac{1-(-3)}{0-(-3)}\cdot\frac{1-2}{0-2} =\frac{4}{3}\cdot\frac{-1}{-2}.
Simplificando:
\frac{4}{3}\cdot\frac{-1}{-2}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Calculo L_2(1):
L_2(1)=\frac{1-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{1-x_1}{x_2-x_1}.
Substituindo:
L_2(1)=\frac{1-(-3)}{2-(-3)}\cdot\frac{1-0}{2-0} =\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Agora uso a fórmula de Lagrange em x=1:
p(1)=y_0\,L_0(1)+y_1\,L_1(1)+y_2\,L_2(1).
Substituo os y_i e os L_i(1) que calculei:
p(1)=5\cdot\left(-\frac{1}{15}\right)+(-1)\cdot\frac{2}{3}+3\cdot\frac{2}{5}.
Calculo termo a termo:
5\cdot\left(-\frac{1}{15}\right)=-\frac{1}{3},\qquad (-1)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{3},\qquad 3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}.
Somando:
-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{6}{5}=-1+\frac{6}{5}=-1+\frac{6}{5}=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}.
Portanto
p(1)=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 8

Como verificação alternativa (útil na prova): podemos também determinar o polinômio quadrático p(x)=ax^2+bx+c resolvendo o sistema formado pelos três pontos. Usando o ponto (0,-1) obtemos c=-1. Substituindo nos outros dois pontos e resolvendo, obtemos a=\frac{4}{5} e b=\frac{2}{5}, isto é
p(x)=\frac{4}{5}x^2+\frac{2}{5}x-1.
Avaliar p(1) \frac{4}{5}+\frac{2}{5}-1=\frac{1}{5}, concordando com o resultado de Lagrange.

Resposta

(e) Não sei

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