Considere os seguintes pontos do plano cartesiano:
e
.
Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(1).
(a) 0,5
(b) 1,3
(c) 1,9
(d) 2,7
(e) Não sei
Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(1).
(a) 0,5
(b) 1,3
(c) 1,9
(d) 2,7
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano:
,
e
. Pede para encontrar o polinômio
usando o método de interpolação de Lagrange e, então, determinar
. As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
Passo 2
Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange. Aqui vai a ideia e a fórmula de forma bem explicada: se temos três pontos distintos
,
,
, existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por esses pontos e ele pode ser escrito como
onde cada polinômio básico
é dado por
Explicando:
é a ordenada do ponto
,
é a abscissa do ponto
. O papel de
é ser igual a
quando
e igual a
quando
é qualquer outra abscissa
(
). Assim
combina os
com esses pesos para passar exatamente pelos três pontos.
Passo 3
Identifico os dados concretos:
Passo 4
Calculo
. Pela definição,
Substituindo
,
,
:
Agora simplifico sinais e frações:
Passo 5
Calculo
:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 6
Calculo
:
Substituindo:
Passo 7
Agora uso a fórmula de Lagrange em
:
Substituo os
e os
que calculei:
Calculo termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 8
Como verificação alternativa (útil na prova): podemos também determinar o polinômio quadrático
resolvendo o sistema formado pelos três pontos. Usando o ponto
obtemos
. Substituindo nos outros dois pontos e resolvendo, obtemos
e
, isto é
Avaliar
dá
, concordando com o resultado de Lagrange.
Resposta
(e) Não sei