Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (0, 0), (2, 4) e (4, 16). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(3).
(a) 8,4
(b) 9,2
(c) 10,1
(d) 12,5
(e) Não sei
(a) 8,4
(b) 9,2
(c) 10,1
(d) 12,5
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado fornece os pontos do plano cartesiano
,
e
e pede duas coisas: encontrar o polinômio
que interpola esses pontos usando o método de Lagrange e então determinar
. Essas são as informações relevantes dadas: os três pontos e a solicitação de
.
Passo 2
Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange para três pontos (polinômio de grau no máximo 2). A fórmula geral para
pontos é
onde cada polinômio base de Lagrange
é dado por
Explicando:
e
são as coordenadas do
-ésimo ponto
. O produto na definição de
percorre todos os índices
diferentes de
. Cada
vale
quando
e vale
quando
para
. Isso garante que
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso com três pontos, indexamos assim:
,
,
. O polinômio interpolador é
Vamos calcular cada
passo a passo.
Passo 4
Calcular
para
. Pela fórmula,
Agora calcule os denominadores:
e
. Portanto
Como
, a contribuição de
para
é
. Vou guardar
apenas para referência.
Passo 5
Calcular
para
. Pela fórmula,
Os denominadores são
e
. Então
A contribuição para
é
com
. Multiplicando:
Passo 6
Calcular
para
. Pela fórmula,
Os denominadores são
e
. Assim
Com
, a contribuição é
Passo 7
Agora somamos as contribuições de
,
e
:
Agrupando termos semelhantes,
Ou seja, o polinômio interpolador é simplesmente
Breve explicação conceitual: três pontos com abscissas distintas determinam um polinômio de grau no máximo 2 de forma única; aqui aparece exatamente
, que é bem intuitivo porque as imagens são
, que são
.
Passo 8
Agora avalio
. Como
,
Força final: você conseguiu! Mesmo com pressa, reconhecer padrão (aqui
) economiza tempo na prova — mas é bom saber também fazer Lagrange caso o padrão não seja óbvio.