Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (0, 0), (2, 4) e (4, 16). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(3).
(a) 8,4
(b) 9,2
(c) 10,1
(d) 12,5
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece os pontos do plano cartesiano (0,0), (2,4) e (4,16) e pede duas coisas: encontrar o polinômio p que interpola esses pontos usando o método de Lagrange e então determinar p(3). Essas são as informações relevantes dadas: os três pontos e a solicitação de p(3).

Passo 2

Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange para três pontos (polinômio de grau no máximo 2). A fórmula geral para n+1 pontos é
p(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio base de Lagrange \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: x_i e y_i são as coordenadas do i-ésimo ponto (x_i,y_i). O produto na definição de \ell_i percorre todos os índices j diferentes de i. Cada \ell_i(x) vale 1 quando x=x_i e vale 0 quando x=x_j para j\neq i. Isso garante que p(x_i)=y_i.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso com três pontos, indexamos assim: (x_0,y_0)=(0,0), (x_1,y_1)=(2,4), (x_2,y_2)=(4,16). O polinômio interpolador é
p(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x).
Vamos calcular cada \ell_i(x) passo a passo.

Passo 4

Calcular \ell_0(x) para x_0=0. Pela fórmula,
\ell_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-2}{0-2}\cdot\frac{x-4}{0-4}.
Agora calcule os denominadores: 0-2=-2 e 0-4=-4. Portanto
\ell_0(x)=\frac{x-2}{-2}\cdot\frac{x-4}{-4}=\frac{(x-2)(x-4)}{8}.
Como y_0=0, a contribuição de \ell_0 para p(x) é y_0\ell_0(x)=0\cdot\ell_0(x)=0. Vou guardar \ell_0(x) apenas para referência.

Passo 5

Calcular \ell_1(x) para x_1=2. Pela fórmula,
\ell_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x-0}{2-0}\cdot\frac{x-4}{2-4}.
Os denominadores são 2-0=2 e 2-4=-2. Então
\ell_1(x)=\frac{x}{2}\cdot\frac{x-4}{-2}=\frac{x(x-4)}{-4}=-\frac{x^2-4x}{4}.
A contribuição para p(x) é y_1\ell_1(x) com y_1=4. Multiplicando:
y_1\ell_1(x)=4\cdot\left(-\frac{x^2-4x}{4}\right) = -(x^2-4x) = -x^2+4x.

Passo 6

Calcular \ell_2(x) para x_2=4. Pela fórmula,
\ell_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x-0}{4-0}\cdot\frac{x-2}{4-2}.
Os denominadores são 4-0=4 e 4-2=2. Assim
\ell_2(x)=\frac{x}{4}\cdot\frac{x-2}{2}=\frac{x(x-2)}{8}=\frac{x^2-2x}{8}.
Com y_2=16, a contribuição é
y_2\ell_2(x)=16\cdot\frac{x^2-2x}{8}=2(x^2-2x)=2x^2-4x.

Passo 7

Agora somamos as contribuições de y_0\ell_0, y_1\ell_1 e y_2\ell_2:
p(x)=0 + (-x^2+4x) + (2x^2-4x).
Agrupando termos semelhantes,
p(x)=(-x^2+2x^2) + (4x-4x) = x^2 + 0 = x^2.
Ou seja, o polinômio interpolador é simplesmente
p(x)=x^2.
Breve explicação conceitual: três pontos com abscissas distintas determinam um polinômio de grau no máximo 2 de forma única; aqui aparece exatamente x^2, que é bem intuitivo porque as imagens são 0,4,16, que são 0^2,2^2,4^2.

Passo 8

Agora avalio p(3). Como p(x)=x^2,
p(3)=3^2=9.
Força final: você conseguiu! Mesmo com pressa, reconhecer padrão (aqui y=x^2) economiza tempo na prova — mas é bom saber também fazer Lagrange caso o padrão não seja óbvio.

Resposta

9

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