Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-1,2), (0,1) e (2, 6). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(3).
(a) 7,2
(b) 8,5
(c) 9,1
(d) 10,4
(e) Não sei
(a) 7,2
(b) 8,5
(c) 9,1
(d) 10,4
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano e pede para encontrar o polinômio
que interpola esses pontos usando o método de Lagrange, e em seguida calcular
.
Dados fornecidos (listei explicitamente):
Dados fornecidos (listei explicitamente):
Perguntas: encontrar o polinômio interpolador
(grau
) usando Lagrange e calcular
.
Passo 2
Apresento a fórmula de interpolação de Lagrange (explicando cada termo): para três pontos com abscissas
e ordenadas
, o polinômio interpolador é
onde cada polinômio base
é dado por
O que isso significa na prática:
é construído para valer
quando
e
quando
é qualquer outra abscissa dos pontos dados; assim
. Cada símbolo:
-
é a variável do polinômio que estamos construindo; -
e são as abscissas dos pontos dados; -
é a ordenada correspondente a .
Passo 3
Identifico os índices com os valores dados:
Passo 4
Calculo
seguindo a fórmula:
Substituindo
e
e
:
Simplificando sinais:
Passo 5
Calculo
:
Com
:
Portanto
Passo 6
Calculo
:
Substituindo:
Passo 7
Agora monto
. Substituindo
:
Vou simplificar termo a termo para deixar tudo com denominador comum
.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando numeradores sobre
:
Logo
Também posso escrever
Passo 8
Faço uma checagem rápida substituindo as abscissas dadas para garantir que obtemos as ordenadas corretas:
Tudo bate, então a fórmula de
está correta.
Passo 9
Agora calculo
. Substituo
em
: