Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-1,2), (0,1) e (2, 6). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(3).
(a) 7,2
(b) 8,5
(c) 9,1
(d) 10,4
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano e pede para encontrar o polinômio {p} que interpola esses pontos usando o método de Lagrange, e em seguida calcular {p(3)}.
Dados fornecidos (listei explicitamente):
(x_0,y_0)=(-1,2),\qquad (x_1,y_1)=(0,1),\qquad (x_2,y_2)=(2,6).
Perguntas: encontrar o polinômio interpolador p (grau \le 2) usando Lagrange e calcular p(3).

Passo 2

Apresento a fórmula de interpolação de Lagrange (explicando cada termo): para três pontos com abscissas x_0,x_1,x_2 e ordenadas y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio base \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso significa na prática: \ell_i(x) é construído para valer 1 quando x=x_i e 0 quando x é qualquer outra abscissa dos pontos dados; assim p(x_i)=y_i. Cada símbolo:
  • x é a variável do polinômio que estamos construindo;
  • x_i e x_j são as abscissas dos pontos dados;
  • y_i é a ordenada correspondente a x_i.

Passo 3

Identifico os índices com os valores dados:
x_0=-1,\; y_0=2;\qquad x_1=0,\; y_1=1;\qquad x_2=2,\; y_2=6.

Passo 4

Calculo \ell_0(x) seguindo a fórmula:
\ell_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2}.
Substituindo x_1=0 e x_2=2 e x_0=-1:
\ell_0(x)=\frac{x-0}{-1-0}\cdot\frac{x-2}{-1-2}=\frac{x}{-1}\cdot\frac{x-2}{-3}.
Simplificando sinais:
\ell_0(x)=\Big(-x\Big)\cdot\Big(-\frac{x-2}{3}\Big)=\frac{x(x-2)}{3}=\frac{x^2-2x}{3}.

Passo 5

Calculo \ell_1(x):
\ell_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2}.
Com x_0=-1,x_1=0,x_2=2:
\ell_1(x)=\frac{x-(-1)}{0-(-1)}\cdot\frac{x-2}{0-2}=\frac{x+1}{1}\cdot\frac{x-2}{-2}=(x+1)\cdot\Big(-\frac{x-2}{2}\Big).
Portanto
\ell_1(x)=-\frac{(x+1)(x-2)}{2}=-\frac{x^2-x-2}{2}=\frac{-x^2+x+2}{2}.

Passo 6

Calculo \ell_2(x):
\ell_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.
Substituindo:
\ell_2(x)=\frac{x+1}{2-(-1)}\cdot\frac{x-0}{2-0}=\frac{x+1}{3}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x(x+1)}{6}=\frac{x^2+x}{6}.

Passo 7

Agora monto p(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x). Substituindo y_0=2,y_1=1,y_2=6:
p(x)=2\cdot\frac{x^2-2x}{3}+1\cdot\frac{-x^2+x+2}{2}+6\cdot\frac{x^2+x}{6}.
Vou simplificar termo a termo para deixar tudo com denominador comum 6.
Primeiro termo:
2\cdot\frac{x^2-2x}{3}=\frac{2x^2-4x}{3}=\frac{4x^2-8x}{6}.
Segundo termo:
\frac{-x^2+x+2}{2}=\frac{-3x^2+3x+6}{6}.
Terceiro termo:
6\cdot\frac{x^2+x}{6}=x^2+x=\frac{6x^2+6x}{6}.
Somando numeradores sobre 6:
(4x^2-8x)+(-3x^2+3x+6)+(6x^2+6x)=(4-3+6)x^2+(-8+3+6)x+6=7x^2+x+6.
Logo
p(x)=\frac{7x^2+x+6}{6}.
Também posso escrever
p(x)=\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{6}x+1.

Passo 8

Faço uma checagem rápida substituindo as abscissas dadas para garantir que obtemos as ordenadas corretas:
p(-1)=\frac{7(-1)^2+(-1)+6}{6}=\frac{7-1+6}{6}=\frac{12}{6}=2 \quad(\text{confere}),
p(0)=\frac{6}{6}=1 \quad(\text{confere}),
p(2)=\frac{7\cdot4+2+6}{6}=\frac{36}{6}=6 \quad(\text{confere}).
Tudo bate, então a fórmula de p(x) está correta.

Passo 9

Agora calculo p(3). Substituo x=3 em p(x)=\dfrac{7x^2+x+6}{6}:
p(3)=\frac{7\cdot 3^2+3+6}{6}=\frac{7\cdot9+3+6}{6}=\frac{63+3+6}{6}=\frac{72}{6}=12.

Resposta

\;12

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