Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: ( 0,3 ), ( 1,5 ) e ( 3,9 ). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(2).
(a) 6,3
(b) 7,8
(c) 8,1
(d) 9,4
(e) Não sei
(a) 6,3
(b) 7,8
(c) 8,1
(d) 9,4
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano e pede para achar o polinômio
que interpola esses pontos pelo método de Lagrange e, em seguida, calcular
. Os dados fornecidos são:
As perguntas são: encontrar o polinômio interpolador
usando Lagrange e determinar o valor
.
Passo 2
Vamos aprender o método de interpolação de Lagrange de forma prática. Se temos três pontos com abscissas
e ordenadas
, o polinômio interpolador de grau no máximo 2 é
onde cada polinômio base
é definido por
O que isso faz, em palavras simples:
vale
em
e vale
em
para
. Assim, ao somar
obtemos um polinômio que passa exatamente pelos três pontos. Agora aplicamos com nossos pontos: tomamos
Passo 3
Calculemos cada
passo a passo.
Para
(correspondente a
):
Os denominadores são
e
, seu produto é
. Logo
Para
(correspondente a
):
Portanto
Para
(correspondente a
):
Logo
Passo 4
Agora formamos
. Substituindo os
:
Calculemos cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Expandindo:
Segundo termo:
Expandindo:
Terceiro termo:
Expandindo:
Passo 5
Somamos os três resultados para obter
:
Agrupando coeficientes de
, de
e a constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Constante:
Portanto o polinômio simplificado é
Observação didática: os três pontos eram colineares (a inclinação entre cada par é
), por isso o interpolador de grau até 2 caiu para uma reta de grau 1. Isso é normal e útil — se os pontos estão numa reta, o polinômio interpolador é essa reta.
Passo 6
Calculemos agora
substituindo
em
: