Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: ( 0,3 ), ( 1,5 ) e ( 3,9 ). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(2).
(a) 6,3
(b) 7,8
(c) 8,1
(d) 9,4
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano e pede para achar o polinômio p que interpola esses pontos pelo método de Lagrange e, em seguida, calcular p(2). Os dados fornecidos são:
(0,3),\quad (1,5),\quad (3,9).
As perguntas são: encontrar o polinômio interpolador p(x) usando Lagrange e determinar o valor p(2).

Passo 2

Vamos aprender o método de interpolação de Lagrange de forma prática. Se temos três pontos com abscissas \,x_0,x_1,x_2 e ordenadas \,y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador de grau no máximo 2 é
p(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso faz, em palavras simples: L_i(x) vale 1 em x=x_i e vale 0 em x=x_j para j\ne i. Assim, ao somar y_i L_i(x) obtemos um polinômio que passa exatamente pelos três pontos. Agora aplicamos com nossos pontos: tomamos \,x_0=0,\;y_0=3;\;x_1=1,\;y_1=5;\;x_2=3,\;y_2=9.

Passo 3

Calculemos cada L_i(x) passo a passo.
Para L_0(x) (correspondente a x_0=0):
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-1}{0-1}\cdot\frac{x-3}{0-3}.
Os denominadores são (0-1)=-1 e (0-3)=-3, seu produto é (-1)(-3)=3. Logo
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{3}.
Para L_1(x) (correspondente a x_1=1):
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x-0}{1-0}\cdot\frac{x-3}{1-3} =\frac{x(x-3)}{1\cdot(-2)}.
Portanto
L_1(x)=-\frac{x(x-3)}{2}.
Para L_2(x) (correspondente a x_2=3):
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x-0}{3-0}\cdot\frac{x-1}{3-1} =\frac{x(x-1)}{3\cdot 2}.
Logo
L_2(x)=\frac{x(x-1)}{6}.

Passo 4

Agora formamos p(x)=y_0L_0+y_1L_1+y_2L_2. Substituindo os y_i:
p(x)=3\cdot L_0(x)+5\cdot L_1(x)+9\cdot L_2(x).
Calculemos cada termo separadamente.
Primeiro termo:
3\cdot L_0(x)=3\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{3}=(x-1)(x-3).
Expandindo:
(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.
Segundo termo:
5\cdot L_1(x)=5\cdot\left(-\frac{x(x-3)}{2}\right)=-\frac{5}{2}x(x-3)=-\frac{5}{2}(x^2-3x).
Expandindo:
-\frac{5}{2}x^2+\frac{15}{2}x.
Terceiro termo:
9\cdot L_2(x)=9\cdot\frac{x(x-1)}{6}=\frac{9}{6}(x^2-x)=\frac{3}{2}(x^2-x).
Expandindo:
\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x.

Passo 5

Somamos os três resultados para obter p(x):
p(x)=\bigl(x^2-4x+3\bigr)+\left(-\frac{5}{2}x^2+\frac{15}{2}x\right)+\left(\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x\right).
Agrupando coeficientes de x^2, de x e a constante:
  • Coeficiente de x^2: 1-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=1-\frac{2}{2}=1-1=0.
  • Coeficiente de x: -4+\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=-4+\frac{12}{2}=-4+6=2.
  • Constante: 3.
Portanto o polinômio simplificado é
p(x)=2x+3.
Observação didática: os três pontos eram colineares (a inclinação entre cada par é 2), por isso o interpolador de grau até 2 caiu para uma reta de grau 1. Isso é normal e útil — se os pontos estão numa reta, o polinômio interpolador é essa reta.

Passo 6

Calculemos agora p(2) substituindo x=2 em p(x)=2x+3:
p(2)=2\cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7.

Resposta

7

Exercícios relacionados