Temos, portanto, n=8 pares (x_i,y_i) com y_i=f(x_i). O objetivo é determinar a,b,c para o ajuste quadrático.
Passo 2
Ideia do método (muito didático): vamos usar mínimos quadrados. A ideia é escolher a,b,c\) que minimizam a soma dos quadrados dos erros
\[S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(a x_i^{2}+b x_i+c)\bigr)^{2}.
Para minimizar S tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
Essas condições geram o sistema linear normal (explicação: cada equação resulta em somas lineares dos coeficientes porque derivada de quadrado dá termo linear):
\begin{cases} n c + \left(\sum x_i\right) b + \left(\sum x_i^{2}\right) a = \sum y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i\right) c + \left(\sum x_i^{2}\right) b + \left(\sum x_i^{3}\right) a = \sum x_i y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i^{2}\right) c + \left(\sum x_i^{3}\right) b + \left(\sum x_i^{4}\right) a = \sum x_i^{2} y_i. \end{cases}
Aqui eu explico o que cada soma significa:
\sum x_i\] é a soma dos valores de \(x;
\sum x_i^{2}, \sum x_i^{3}, \sum x_i^{4} são as somas das potências de x;
\sum y_i, \sum x_i y_i, \sum x_i^{2}y_i são as somas envolvendo y.
Agora vamos calcular essas somas usando os dados.]
Passo 3
Cálculo das somas (usei os valores da tabela citada no Passo 1):