1. Considere f tabelada abaixo:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,47 0,59 0,89 1,16 1,29 1,44 1,63 1,92
Ajustar por uma parábola.

Passo 1

O que o problema pede: ajustar por uma parábola os dados tabelados, ou seja, encontrar os coeficientes a, b e c de uma função do tipo
f(x)=a x^{2}+b x+c
que melhor se ajusta (no sentido dos mínimos quadrados) aos pontos fornecidos.
Informações dadas (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\hline f(x) & 0,47 & 0,59 & 0,89 & 1,16 & 1,29 & 1,44 & 1,63 & 1,92 \end{array}
Temos, portanto, n=8 pares (x_i,y_i) com y_i=f(x_i). O objetivo é determinar a,b,c para o ajuste quadrático.

Passo 2

Ideia do método (muito didático): vamos usar mínimos quadrados. A ideia é escolher a,b,c\) que minimizam a soma dos quadrados dos erros \[S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(a x_i^{2}+b x_i+c)\bigr)^{2}.
Para minimizar S tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial c}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial a}=0.
Essas condições geram o sistema linear normal (explicação: cada equação resulta em somas lineares dos coeficientes porque derivada de quadrado dá termo linear):
\begin{cases} n c + \left(\sum x_i\right) b + \left(\sum x_i^{2}\right) a = \sum y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i\right) c + \left(\sum x_i^{2}\right) b + \left(\sum x_i^{3}\right) a = \sum x_i y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i^{2}\right) c + \left(\sum x_i^{3}\right) b + \left(\sum x_i^{4}\right) a = \sum x_i^{2} y_i. \end{cases}
Aqui eu explico o que cada soma significa:
  • \sum x_i\] é a soma dos valores de \(x;
  • \sum x_i^{2}, \sum x_i^{3}, \sum x_i^{4} são as somas das potências de x;
  • \sum y_i, \sum x_i y_i, \sum x_i^{2}y_i são as somas envolvendo y.
    Agora vamos calcular essas somas usando os dados.]

Passo 3

Cálculo das somas (usei os valores da tabela citada no Passo 1):
Somas simples das potências de x:
\begin{aligned} n &= 8,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i &= 1+2+3+4+5+6+7+8=36,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i^{2} &= 1^{2}+2^{2}+\cdots+8^{2}=204,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i^{3} &= 1^{3}+2^{3}+\cdots+8^{3}=1296,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i^{4} &= 1^{4}+2^{4}+\cdots+8^{4}=8772. \end{aligned}
Somas envolvendo y_i (calculei termo a termo com os y da tabela):
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{8} y_i &= 0,47+0,59+0,89+1,16+1,29+1,44+1,63+1,92=9,39,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i y_i &= 1\cdot0,47+2\cdot0,59+3\cdot0,89+4\cdot1,16\\\ &\quad+5\cdot1,29+6\cdot1,44+7\cdot1,63+8\cdot1,92=50,82,\\[4pt] \sum_{i=1}^{8} x_i^{2} y_i &= 1^{2}\cdot0,47+2^{2}\cdot0,59+3^{2}\cdot0,89\\\ &\quad+4^{2}\cdot1,16+5^{2}\cdot1,29+6^{2}\cdot1,44+7^{2}\cdot1,63+8^{2}\cdot1,92=316,24. \end{aligned}
(Se quiser conferir rápido: some os produtos linha a linha usando a tabela.)]

Passo 4

Substituindo essas somas nas equações normais obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 8c + 36b + 204a = 9,39,\\[4pt] 36c + 204b + 1296a = 50,82,\\[4pt] 204c + 1296b + 8772a = 316,24. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema com eliminação de Gauss, passo a passo.]

Passo 5

Eliminação para encontrar [a,b,c).
Primeiro, elimino c das equações 2 e 3 usando a eq.1.
Multiplico a eq.1 por 4{,}5 e subtraio da eq.2:
\text{eq2} - 4{,}5\cdot\text{eq1} \Rightarrow 0\cdot c + 42 b + 378 a = 8{,}565.
Multiplico a eq.1 por 25{,}5 e subtraio da eq.3:
\text{eq3} - 25{,}5\cdot\text{eq1} \Rightarrow 0\cdot c + 378 b + 3570 a = 76{,}795.
Agora temos o sistema em a,b:
\begin{cases} 42 b + 378 a = 8{,}565,\\[4pt] 378 b + 3570 a = 76{,}795. \end{cases}
Divido a primeira por (42] (para simplificar):
b + 9a = 0{,}2039285714\ldots
Para eliminar b, faço \text{(eq2)} - 9\cdot\text{(eq1)}:
(378 b + 3570 a) - 9(42 b + 378 a) = 76{,}795 - 9\cdot8{,}565.
O lado esquerdo dá 168 a e o direito dá -0{,}29, logo
168 a = -0{,}29 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{0{,}29}{168} = -0{,}00172619047619\ldots
Agora volto para b + 9a = 0{,}2039285714\ldots:
b = 0{,}2039285714\ldots - 9a = 0{,}2039285714\ldots - 9(-0{,}00172619047619\ldots)
b = 0{,}2194642857\ldots
Finalmente, uso a primeira equação original para achar c:
8c + 36b + 204a = 9{,}39.
Substituindo a e b:
8c = 9{,}39 - 36\cdot0{,}2194642857\ldots - 204\cdot(-0{,}00172619047619\ldots).
Calculando: 8c = 1{,}8414285719\ldots, então
c = 0{,}2301785715\ldots
Arredondando razoavelmente (mantendo boa precisão), obtemos:
a \approx -0{,}0017261905,\qquad b \approx 0{,}2194642857,\qquad c \approx 0{,}2301785715.]

Resposta

f(x)=-0,0017261905\,x^{2}+0,2194642857\,x+0,2301785715

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