Considere os seguintes pontos
x -1 0 3
y 15 8 -1
a) Por que há apenas um único polinômio de grau máximo 2 que interpola estes pontos?
b) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando a abordagem por sistemas lineares.
c) Para casos mais gerais, por que a interpolação polinomial a partir da resolução de um sistema linear não é vantajosa?
d) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando as fórmulas de Lagrange.
e) Qual a desvantagem da interpolação polinomial a partir das fórmulas de Lagrange?
f) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando as fórmulas de Newton. Também, encontre o valor aproximado de y para x=1.
g) Considerando as fórmulas de Newton, se um novo par ( x_{3}, y_{3} ) for acrescido aos dados dessa tabela, como podemos utilizar o resultado do item (f) para construir o polinômio interpolador de grau máximo 3 ?
h) Se este novo par for ( 4,0 ), o grau do polinômio interpolador é aumentado? Mostre. Não. Mostrar pela tabela das diferenças dividias.

Passo 1

O enunciado dá três pontos:
(x,y)=(-1,15),\quad (0,8),\quad (3,-1).
As perguntas são:
a) Por que existe apenas um único polinômio de grau máximo 2 que interpola esses pontos?
b) Encontre esse polinômio usando a abordagem por sistemas lineares.
c) Por que, em geral, resolver um sistema linear para interpolação polinomial não é vantajoso?
d) Encontre o polinômio usando as fórmulas de Lagrange.
e) Qual a desvantagem da interpolação pelas fórmulas de Lagrange?
f) Encontre o polinômio usando as fórmulas de Newton e, com ele, estime y em x=1.
g) Usando Newton, se um novo par (x_3,y_3) for acrescentado, como usar o resultado do item (f) para construir o polinômio interpolador de grau máximo 3?
h) Se o novo par for (4,0), o grau do polinômio interpolador aumenta? Mostre usando a tabela das diferenças divididas.

Passo 2

Prova didática da unicidade pedida em (a). Suponha que existam dois polinômios p e q de grau no máximo 2 que passam pelos três pontos dados. Considere o polinômio diferença
r(x)=p(x)-q(x).
Então r tem grau no máximo 2 e satisfaz
r(-1)=0,\quad r(0)=0,\quad r(3)=0,
pois p e q coincidem nos três pontos. Logo r tem pelo menos três raízes distintas. Um polinômio de grau no máximo 2 que tem três raízes distintas é necessariamente o polinômio identicamente zero (se um polinômio não nulo de grau \le2 pudesse ter 3 raízes, isso contradiz a propriedade básica de graus). Portanto r\equiv0, isto é, p\equiv q. Conclusão: existe no máximo um polinômio de grau \le2 interpolador dos três pontos. Como sabemos que existe pelo menos um (você pode sempre montar o sistema e resolver), então existe exatamente um.
Breve comentário didático: a chave é que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas, então n+1 pontos com abscissas distintas determinam unicamente um polinômio de grau \le n.

Passo 3

Resolução do item (b) — método por sistema linear, passo a passo e explicando as contas.
  1. Assumimos a forma geral do polinômio de grau no máximo 2\): \[p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são os coeficientes desconhecidos que queremos achar.
  1. Impomos que o polinômio passe pelos pontos. Substituindo cada ponto obtemos um sistema linear:
  • Para x= -1,\; y=15:
a(-1)^{2}+b(-1)+c = 15 \quad\Rightarrow\quad a - b + c = 15.
  • Para x= 0,\; y=8:
a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = 8 \quad\Rightarrow\quad c = 8.
  • Para x= 3,\; y=-1:
a\cdot 3^{2}+b\cdot 3 + c = -1 \quad\Rightarrow\quad 9a+3b+c = -1.
  1. Usamos a equação c=8 (obtida direto do ponto com x=0) para simplificar as outras duas:
  • Da primeira: a - b + 8 = 15 \Rightarrow a - b = 7.
  • Da terceira: 9a + 3b + 8 = -1 \Rightarrow 9a + 3b = -9. Dividindo por 3: 3a + b = -3.
  1. Resolver o sistema simples
\begin{cases} a - b = 7,\\[4pt] 3a + b = -3. \end{cases}
Somando as duas equações (para eliminar b\]): \[( a - b ) + (3a + b) = 7 + (-3) \quad\Rightarrow\quad 4a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 1.\] Então \(a=1. Usando a-b=7 obtemos 1 - b = 7\Rightarrow b = 1-7 = -6. E já tínhamos c=8.
  1. Portanto o polinômio é
p(x)=1\cdot x^{2} -6x + 8,
ou seja
p(x)=x^{2}-6x+8.
Comentário prático: aqui ficou fácil porque um dos pontos tinha x=0, dando imediatamente c. Em geral o sistema seria um sistema de Vandermonde.]

Passo 4

Resposta do item (c) — por que, em casos gerais, resolver pelo sistema linear não é vantajoso (explicação didática e prática).
  1. Custo computacional: resolver um sistema n+1 por n+1 por eliminação gaussiana custa da ordem de \mathcal{O}(n^{3}) operações; para grandes n isso pode ser caro.
  2. Condicionamento e estabilidade: a matriz do sistema é a matriz de Vandermonde
V = \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^{2} & \cdots & x_0^{n}\\\\ 1 & x_1 & x_1^{2} & \cdots & x_1^{n}\\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\\\ 1 & x_n & x_n^{2} & \cdots & x_n^{n} \end{pmatrix},
que tende a ser numericamente mal condicionada quando n cresce ou quando os x_i estão mal distribuídos. Mal condicionamento significa que pequenos erros nos dados podem gerar grandes erros nos coeficientes quando computado numericamente.
  1. Falta de incrementalidade: se um novo ponto é acrescentado, preciso resolver novamente todo o sistema (a não ser que usemos técnicas especiais). Métodos como a forma de Newton permitem atualizar incrementalmente com muito menos custo.
  2. Portanto, para interpolação numérica com n grande, montar e resolver o sistema direto não é a melhor prática — preferem-se formas que dão coeficientes de forma incremental ou bases ortogonais (ou até métodos não polinomiais).

Passo 5

Item (d) — construção pelo polinômio de Lagrange com explicação do método e cálculo detalhado.
  1. A ideia: escrever p(x) como combinação linear das bases de Lagrange L_{0},L_{1},L_{2} associadas aos três pontos. Cada base L_{i}(x) satisfaz L_{i}(x_{j})=\delta_{ij} (ou seja, vale 1 em x_i e 0 nos outros pontos). A fórmula geral para três pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) é
p(x)=y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x),
com
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
  1. Aqui identificamos x_0=-1,\;y_0=15;\; x_1=0,\;y_1=8;\; x_2=3,\;y_2=-1. Calculamos cada L_i:
  • Para L_0:
L_0(x)=\frac{(x-0)(x-3)}{(-1-0)(-1-3)}=\frac{x(x-3)}{(-1)(-4)}=\frac{x(x-3)}{4}.
Multiplicando por y_0=15 15\cdot \dfrac{x(x-3)}{4}.
  • Para L_1:
L_1(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(0+1)(0-3)}=\frac{(x+1)(x-3)}{1\cdot(-3)}=-\frac{(x+1)(x-3)}{3}.
Multiplicando por y_1=8 -\dfrac{8}{3}(x+1)(x-3).
  • Para L_2:
L_2(x)=\frac{(x+1)x}{(3+1)(3-0)}=\frac{x(x+1)}{4\cdot 3}=\frac{x(x+1)}{12}.
Multiplicando por y_2=-1 -\dfrac{1}{12}x(x+1).
  1. Somando os termos:
p(x)=\frac{15}{4}x(x-3) - \frac{8}{3}(x+1)(x-3) - \frac{1}{12}x(x+1).
Expandimos cuidadosamente (fazendo conta sem pular passos):
  • Primeiro termo: \dfrac{15}{4}(x^{2}-3x)=\dfrac{15}{4}x^{2}-\dfrac{45}{4}x.
  • Segundo termo: -\dfrac{8}{3}(x^{2}-2x-3)=-\dfrac{8}{3}x^{2}+\dfrac{16}{3}x+8.
  • Terceiro termo: -\dfrac{1}{12}(x^{2}+x)=-\dfrac{1}{12}x^{2}-\dfrac{1}{12}x.
Somando coeficientes de x^{2}:
\dfrac{15}{4}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{12}=\frac{45-32-1}{12}=\frac{12}{12}=1.
Somando coeficientes de x:
-\dfrac{45}{4}+\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{12}=\frac{-135+64-1}{12}=\frac{-72}{12}=-6.
Somando termos constantes: 0+8+0=8.
Portanto
p(x)=x^{2}-6x+8,
que coincide com o resultado do sistema linear (boa checagem!).

Passo 6

Item (e) — desvantagem da fórmula de Lagrange (explicação didática e prática).
  1. Re-fazer tudo do zero: a forma de Lagrange fornece uma expressão imediata, mas se eu acrescentar um novo ponto tenho que recomputar todas as bases L_i e somar novamente; não há uma forma incremental simples (ou seja, não reaproveita facilmente os cálculos anteriores).
  2. Complexidade e custo: para muitos pontos (grande n) as expressões ficam pesadas e custosas de avaliar/armazenar diretamente.
  3. Instabilidade numérica: para n grande, somas e produtos polinomiais nas bases de Lagrange também podem ser numericamente instáveis (semelhante ao caso do Vandermonde).
Resumo: Lagrange é ótimo para entender teoria e para poucos pontos, mas pouco prático para grande n ou para uso incremental.

Passo 7

Item (f) — fórmulas de Newton, tabela de diferenças divididas, construção do polinômio e avaliação em x=1.
  1. Explicação rápida do método de Newton: o polinômio interpolador em forma de Newton usa termos do tipo
p(x)=c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots,
onde os coeficientes c_i são diferenças divididas. A vantagem prática: ao acrescentar um novo ponto só é preciso calcular novas diferenças divididas e acrescentar um termo; os coeficientes anteriores não mudam.
  1. Montamos a tabela de diferenças divididas para os pontos x_0=-1,\;x_1=0,\;x_2=3. Coluna zero (valores de f):
\begin{array}{c|c} x & f[x] \\\ \hline -1 & 15\\\\ 0 & 8\\\\ 3 & -1 \end{array}
Diferenças de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\frac{8-15}{0-(-1)}=\frac{-7}{1}=-7.
f[x_1,x_2]=\frac{-1-8}{3-0}=\frac{-9}{3}=-3.
Diferença de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-3-(-7)}{3-(-1)}=\frac{4}{4}=1.
  1. Os coeficientes para a forma de Newton são
c_0=f[x_0]=15,\quad c_1=f[x_0,x_1]=-7,\quad c_2=f[x_0,x_1,x_2]=1.
  1. Assim o polinômio de Newton (na forma com pontos na ordem escolhida) é
p(x)=15 -7(x+1) + 1\cdot (x+1)(x-0),
pois x-x_0=x-(-1)=x+1 e x-x_1=x-0=x. Expandindo:
p(x)=15 -7(x+1) + (x+1)x = x^{2}-6x+8,
confirmando novamente o mesmo polinômio.
  1. Avaliação em x=1: usamos p(1)=1^{2}-6\cdot1 +8 = 1-6+8 = 3. Portanto o valor aproximado (na verdade exato, porque estamos no polinômio) é y(1)=3.

Passo 8

Item (g) — como usar o resultado de (f) para estender para um polinômio de grau máximo 3 quando um novo par (x_3,y_3) for acrescentado (explicação prática com fórmula).
  1. Na forma de Newton nós já temos
p_{2}(x)=c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1),
com c_0,c_1,c_2 obtidos anteriormente.
  1. Ao acrescentar um novo ponto (x_3,y_3), o novo polinômio interpolador de grau no máximo 3 terá forma
p_{3}(x)=p_{2}(x) + c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde
c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3]
é a diferença dividida de ordem 3. Essa nova diferença dividida é calculada usando apenas valores já conhecidos e as diferenças envolvendo o novo ponto; em particular, monta-se a nova coluna na tabela de diferenças divididas, calculando-se sucessivamente as diferenças com o novo y_3.
  1. Em termos práticos: não é necessário recalcular c_0,c_1,c_2; basta calcular todas as diferenças divididas que envolvem x_3 (primeiro f[x_2,x_3], depois f[x_1,x_2,x_3], e finalmente f[x_0,x_1,x_2,x_3]) e obter c_3. Depois acrescenta-se o termo c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) ao polinômio já conhecido.
Conclusão prática: forma incremental e custo muito menor do que resolver novamente todo um sistema.

Passo 9

Item (h) — se o novo par for (4,0), o grau do polinômio interpolador aumenta? Mostrar pela tabela de diferenças divididas.
  1. Vamos adicionar x_3=4 com y_3=0 à tabela. Já tínhamos para x_0=-1,\;x_1=0,\;x_2=3:
\begin{array}{c|c|c|c} x & f[x] & \text{1ª dif.} & \text{2ª dif.}\\hline -1 & 15 & & \\\\ 0 & 8 & & \\\\ 3 & -1 & & \end{array}ªª
Agora acrescentamos x_3=4,\;f[x_3]=0.
  1. Calculamos as diferenças envolvendo o novo ponto:
Primeiras diferenças:
f[x_2,x_3]=\frac{f[x_3]-f[x_2]}{x_3-x_2}=\frac{0-(-1)}{4-3}=\frac{1}{1}=1.
(Recordando: já tínhamos f[x_0,x_1]=-7 e f[x_1,x_2]=-3.)
Segundas diferenças:
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{1-(-3)}{4-0}=\frac{4}{4}=1.
E já tínhamos calculado antes
f[x_0,x_1,x_2]=1.
Terceira diferença (a que determina o coeficiente cúbico):
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{1-1}{4-(-1)}=\frac{0}{5}=0.
  1. Interpretação: o coeficiente c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3] do termo cúbico é 0. Portanto o novo polinômio p_3(x)=p_2(x)+0\cdot(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) é exatamente igual a p_2(x). Em outras palavras, o ponto (4,0) já está sobre o polinômio quadrático encontrado, então o interpolador de grau máximo 3 não aumenta o grau — o polinômio interpolador permanece de grau 2.
  2. Checagem direta rápida (opcional para entendimento): avaliando p(4) no polinômio p(x)=x^{2}-6x+8 obtemos
p(4)=4^{2}-6\cdot 4 +8 =16 -24 +8 =0,
logo o ponto (4,0) pertence ao polinômio quadrático, confirmando o resultado da tabela de diferenças divididas.

Resposta

a) Porque se houvessem dois polinômios de grau \le2 que coincidissem nos três x distintos, sua diferença teria \ge3 raízes e grau \le2, logo seria identicamente zero; portanto o interpolador é único.
b) p(x)=x^{2}-6x+8.
c) Porque a matriz de Vandermonde é custosa de resolver ( \mathcal{O}(n^{3})), pode ser numericamente mal condicionada e não permite atualização incremental fácil ao acrescentar pontos.
d) Usando Lagrange obtemos p(x)=x^{2}-6x+8 (mesmo polinômio).
e) Desvantagem: não é incremental — ao adicionar um ponto precisa-se recomputar todas as bases L_i; também pode ser custoso e numericamente instável para grande n.
f) Pela forma de Newton com diferenças divididas obtém-se p(x)=x^{2}-6x+8. Portanto p(1)=3.
g) Em Newton basta calcular a nova diferença dividida de ordem 3, c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3], e acrescentar o termo c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) ao polinômio já obtido (não é preciso recalcular c_0,c_1,c_2).
h) Não. Para (4,0) a terceira diferença dividida é 0, logo o coeficiente do termo cúbico é 0 e o interpolador permanece de grau 2 (confere: p(4)=0).

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