a) Por que há apenas um único polinômio de grau máximo 2 que interpola estes pontos?
b) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando a abordagem por sistemas lineares.
c) Para casos mais gerais, por que a interpolação polinomial a partir da resolução de um sistema linear não é vantajosa?
d) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando as fórmulas de Lagrange.
e) Qual a desvantagem da interpolação polinomial a partir das fórmulas de Lagrange?
f) Encontre o polinômio de grau no máximo 2 que passa por estes pontos considerando as fórmulas de Newton. Também, encontre o valor aproximado de y para x=1.
g) Considerando as fórmulas de Newton, se um novo par ( x_{3}, y_{3} ) for acrescido aos dados dessa tabela, como podemos utilizar o resultado do item (f) para construir o polinômio interpolador de grau máximo 3 ?
h) Se este novo par for ( 4,0 ), o grau do polinômio interpolador é aumentado? Mostre. Não. Mostrar pela tabela das diferenças dividias.
Passo 1
O enunciado dá três pontos:
(x,y)=(-1,15),\quad (0,8),\quad (3,-1).
As perguntas são:
a) Por que existe apenas um único polinômio de grau máximo 2 que interpola esses pontos?
b) Encontre esse polinômio usando a abordagem por sistemas lineares.
c) Por que, em geral, resolver um sistema linear para interpolação polinomial não é vantajoso?
d) Encontre o polinômio usando as fórmulas de Lagrange.
e) Qual a desvantagem da interpolação pelas fórmulas de Lagrange?
f) Encontre o polinômio usando as fórmulas de Newton e, com ele, estime y em x=1.
g) Usando Newton, se um novo par (x_3,y_3) for acrescentado, como usar o resultado do item (f) para construir o polinômio interpolador de grau máximo 3?
h) Se o novo par for (4,0), o grau do polinômio interpolador aumenta? Mostre usando a tabela das diferenças divididas.
Passo 2
Prova didática da unicidade pedida em (a). Suponha que existam dois polinômios p e q de grau no máximo 2 que passam pelos três pontos dados. Considere o polinômio diferença
r(x)=p(x)-q(x).
Então r tem grau no máximo 2 e satisfaz
r(-1)=0,\quad r(0)=0,\quad r(3)=0,
pois p e q coincidem nos três pontos. Logo r tem pelo menos três raízes distintas. Um polinômio de grau no máximo 2 que tem três raízes distintas é necessariamente o polinômio identicamente zero (se um polinômio não nulo de grau \le2 pudesse ter 3 raízes, isso contradiz a propriedade básica de graus). Portanto r\equiv0, isto é, p\equiv q. Conclusão: existe no máximo um polinômio de grau \le2 interpolador dos três pontos. Como sabemos que existe pelo menos um (você pode sempre montar o sistema e resolver), então existe exatamente um.
Breve comentário didático: a chave é que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas, então n+1 pontos com abscissas distintas determinam unicamente um polinômio de grau \le n.
Passo 3
Resolução do item (b) — método por sistema linear, passo a passo e explicando as contas.
Assumimos a forma geral do polinômio de grau no máximo 2\):
\[p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são os coeficientes desconhecidos que queremos achar.
Impomos que o polinômio passe pelos pontos. Substituindo cada ponto obtemos um sistema linear:
Para x= -1,\; y=15:
a(-1)^{2}+b(-1)+c = 15 \quad\Rightarrow\quad a - b + c = 15.
Para x= 0,\; y=8:
a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = 8 \quad\Rightarrow\quad c = 8.
Usamos a equação c=8 (obtida direto do ponto com x=0) para simplificar as outras duas:
Da primeira: a - b + 8 = 15 \Rightarrow a - b = 7.
Da terceira: 9a + 3b + 8 = -1 \Rightarrow 9a + 3b = -9. Dividindo por 3: 3a + b = -3.
Resolver o sistema simples
\begin{cases} a - b = 7,\\[4pt] 3a + b = -3. \end{cases}
Somando as duas equações (para eliminar b\]):
\[( a - b ) + (3a + b) = 7 + (-3) \quad\Rightarrow\quad 4a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 1.\]
Então \(a=1. Usando a-b=7 obtemos 1 - b = 7\Rightarrow b = 1-7 = -6. E já tínhamos c=8.
Portanto o polinômio é
p(x)=1\cdot x^{2} -6x + 8,
ou seja
p(x)=x^{2}-6x+8.
Comentário prático: aqui ficou fácil porque um dos pontos tinha x=0, dando imediatamente c. Em geral o sistema seria um sistema de Vandermonde.]
Passo 4
Resposta do item (c) — por que, em casos gerais, resolver pelo sistema linear não é vantajoso (explicação didática e prática).
Custo computacional: resolver um sistema n+1 por n+1 por eliminação gaussiana custa da ordem de \mathcal{O}(n^{3}) operações; para grandes n isso pode ser caro.
Condicionamento e estabilidade: a matriz do sistema é a matriz de Vandermonde
que tende a ser numericamente mal condicionada quando n cresce ou quando os x_i estão mal distribuídos. Mal condicionamento significa que pequenos erros nos dados podem gerar grandes erros nos coeficientes quando computado numericamente.
Falta de incrementalidade: se um novo ponto é acrescentado, preciso resolver novamente todo o sistema (a não ser que usemos técnicas especiais). Métodos como a forma de Newton permitem atualizar incrementalmente com muito menos custo.
Portanto, para interpolação numérica com n grande, montar e resolver o sistema direto não é a melhor prática — preferem-se formas que dão coeficientes de forma incremental ou bases ortogonais (ou até métodos não polinomiais).
Passo 5
Item (d) — construção pelo polinômio de Lagrange com explicação do método e cálculo detalhado.
A ideia: escrever p(x) como combinação linear das bases de Lagrange L_{0},L_{1},L_{2} associadas aos três pontos. Cada base L_{i}(x) satisfaz L_{i}(x_{j})=\delta_{ij} (ou seja, vale 1 em x_i e 0 nos outros pontos). A fórmula geral para três pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) é
que coincide com o resultado do sistema linear (boa checagem!).
Passo 6
Item (e) — desvantagem da fórmula de Lagrange (explicação didática e prática).
Re-fazer tudo do zero: a forma de Lagrange fornece uma expressão imediata, mas se eu acrescentar um novo ponto tenho que recomputar todas as bases L_i e somar novamente; não há uma forma incremental simples (ou seja, não reaproveita facilmente os cálculos anteriores).
Complexidade e custo: para muitos pontos (grande n) as expressões ficam pesadas e custosas de avaliar/armazenar diretamente.
Instabilidade numérica: para n grande, somas e produtos polinomiais nas bases de Lagrange também podem ser numericamente instáveis (semelhante ao caso do Vandermonde).
Resumo: Lagrange é ótimo para entender teoria e para poucos pontos, mas pouco prático para grande n ou para uso incremental.
Passo 7
Item (f) — fórmulas de Newton, tabela de diferenças divididas, construção do polinômio e avaliação em x=1.
Explicação rápida do método de Newton: o polinômio interpolador em forma de Newton usa termos do tipo
p(x)=c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots,
onde os coeficientes c_i são diferenças divididas. A vantagem prática: ao acrescentar um novo ponto só é preciso calcular novas diferenças divididas e acrescentar um termo; os coeficientes anteriores não mudam.
Montamos a tabela de diferenças divididas para os pontos x_0=-1,\;x_1=0,\;x_2=3. Coluna zero (valores de f):
Assim o polinômio de Newton (na forma com pontos na ordem escolhida) é
p(x)=15 -7(x+1) + 1\cdot (x+1)(x-0),
pois x-x_0=x-(-1)=x+1 e x-x_1=x-0=x. Expandindo:
p(x)=15 -7(x+1) + (x+1)x = x^{2}-6x+8,
confirmando novamente o mesmo polinômio.
Avaliação em x=1: usamos p(1)=1^{2}-6\cdot1 +8 = 1-6+8 = 3. Portanto o valor aproximado (na verdade exato, porque estamos no polinômio) é y(1)=3.
Passo 8
Item (g) — como usar o resultado de (f) para estender para um polinômio de grau máximo 3 quando um novo par (x_3,y_3) for acrescentado (explicação prática com fórmula).
Na forma de Newton nós já temos
p_{2}(x)=c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1),
com c_0,c_1,c_2 obtidos anteriormente.
Ao acrescentar um novo ponto (x_3,y_3), o novo polinômio interpolador de grau no máximo 3 terá forma
p_{3}(x)=p_{2}(x) + c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde
c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3]
é a diferença dividida de ordem 3. Essa nova diferença dividida é calculada usando apenas valores já conhecidos e as diferenças envolvendo o novo ponto; em particular, monta-se a nova coluna na tabela de diferenças divididas, calculando-se sucessivamente as diferenças com o novo y_3.
Em termos práticos: não é necessário recalcular c_0,c_1,c_2; basta calcular todas as diferenças divididas que envolvem x_3 (primeiro f[x_2,x_3], depois f[x_1,x_2,x_3], e finalmente f[x_0,x_1,x_2,x_3]) e obter c_3. Depois acrescenta-se o termo c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) ao polinômio já conhecido.
Conclusão prática: forma incremental e custo muito menor do que resolver novamente todo um sistema.
Passo 9
Item (h) — se o novo par for (4,0), o grau do polinômio interpolador aumenta? Mostrar pela tabela de diferenças divididas.
Vamos adicionar x_3=4 com y_3=0 à tabela. Já tínhamos para x_0=-1,\;x_1=0,\;x_2=3:
Interpretação: o coeficiente c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3] do termo cúbico é 0. Portanto o novo polinômio p_3(x)=p_2(x)+0\cdot(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) é exatamente igual a p_2(x). Em outras palavras, o ponto (4,0) já está sobre o polinômio quadrático encontrado, então o interpolador de grau máximo 3 não aumenta o grau — o polinômio interpolador permanece de grau 2.
Checagem direta rápida (opcional para entendimento): avaliando p(4) no polinômio p(x)=x^{2}-6x+8 obtemos
p(4)=4^{2}-6\cdot 4 +8 =16 -24 +8 =0,
logo o ponto (4,0) pertence ao polinômio quadrático, confirmando o resultado da tabela de diferenças divididas.
Resposta
a) Porque se houvessem dois polinômios de grau \le2 que coincidissem nos três x distintos, sua diferença teria \ge3 raízes e grau \le2, logo seria identicamente zero; portanto o interpolador é único.
b) p(x)=x^{2}-6x+8.
c) Porque a matriz de Vandermonde é custosa de resolver (\mathcal{O}(n^{3})), pode ser numericamente mal condicionada e não permite atualização incremental fácil ao acrescentar pontos.
d) Usando Lagrange obtemos p(x)=x^{2}-6x+8 (mesmo polinômio).
e) Desvantagem: não é incremental — ao adicionar um ponto precisa-se recomputar todas as bases L_i; também pode ser custoso e numericamente instável para grande n.
f) Pela forma de Newton com diferenças divididas obtém-se p(x)=x^{2}-6x+8. Portanto p(1)=3.
g) Em Newton basta calcular a nova diferença dividida de ordem 3, c_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3], e acrescentar o termo c_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) ao polinômio já obtido (não é preciso recalcular c_0,c_1,c_2).
h) Não. Para (4,0) a terceira diferença dividida é 0, logo o coeficiente do termo cúbico é 0 e o interpolador permanece de grau 2 (confere: p(4)=0).