a) Mostre que esse sistema tem solução única.
b) Resolva-o usando eliminação de Gauss. x=\left[\begin{array}{lll}-4 & 3 & 2\end{array}\right]^{T}.
c) Resolva-o usando a decomposição LU.
d) Calcule o determinante de A usando a decomposição.
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte sistema linear (três equações e três incógnitas):
Perguntas:
a) Mostrar que o sistema tem solução única.
b) Resolver o sistema usando eliminação de Gauss. (O enunciado já sugere que a solução é \displaystyle x=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}.)
c) Resolver o sistema usando decomposição LU.
d) Calcular \det(A) usando a decomposição.]
Passo 2
Explicando o método que vamos usar agora: eliminação de Gauss. A ideia é transformar a matriz aumentada (A\mid b) numa forma triangular superior por operações elementares sobre linhas (essas operações correspondem a eliminar as incógnitas). Em cada etapa usamos um pivô (entrada diagonal) e multiplicadores (os números que usamos para zerar abaixo do pivô). Se todos os pivôs principais forem não nulos (sem trocar linhas), o sistema tem solução única. Vou aplicar esse processo passo a passo.
Aplicamos as operações R_{2}\leftarrow R_{2}-l_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-l_{31}R_{1}. Calculando cada entrada (faço em frações para não perder exatidão):
Quando na eliminação de Gauss, sem trocar linhas, todos os pivôs são não nulos, isso implica que a matriz A é invertível e, portanto, o sistema tem solução única. Isso responde (a): sim, solução única (porque os pivôs são não nulos).]
Passo 5
Agora faço a substituição reversa (back-substitution) para obter x\). A partir da forma triangular superior temos o sistema:
\[\begin{cases} 5x_{1}+2x_{2}+x_{3} = -12,\\[4pt] \dfrac{22}{5}x_{2}+\dfrac{11}{5}x_{3} = \dfrac{88}{5},\\[6pt] \dfrac{253}{22}x_{3} = 23. \end{cases}
Isto responde (b): solução encontrada pelo método de Gauss.]
Passo 6
Agora faço a decomposição A=LU. Ideia e relação com a eliminação: em eliminação de Gauss os multiplicadores l_{21},l_{31},l_{32} que usamos para zerar entradas são exatamente as entradas abaixo da diagonal de uma matriz triangular inferior L com diagonal composta por 1s; a matriz resultante triangular superior é U.
Posso conferir rapidamente que LU=A multiplicando (mas já sabemos que a construção via multiplicadores garante isso).]
Passo 7
Resolver usando LU: quero resolver Ax=b escrevendo LUx=b. Defino y=Ux e primeiro resolvo Ly=b por substituição progressiva (forward substitution), depois resolvo Ux=y por substituição regressiva.
Calcular o determinante de A usando a decomposição. Para matrizes triangulares,
\det(L)=\text{produto das entradas diagonais de }L=1\cdot 1\cdot 1=1,
\det(U)=\text{produto das entradas diagonais de }U =5\cdot\frac{22}{5}\cdot\frac{253}{22}.
Observe que há cancelamentos: 5 cancela com \dfrac{22}{5} parcialmente e \dfrac{22}{5} cancela com \dfrac{253}{22} no que interessa ao produto; calculando diretamente: