Resolva as equações:
2^{1+x}+\sqrt{8}=\sqrt{72}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2^{1+x}+\sqrt{8}=\sqrt{72}.
Informações fornecidas: a equação envolve uma expressão exponencial 2^{1+x} e duas raízes quadradas \sqrt{8} e \sqrt{72}. A incógnita é x e queremos todos os valores reais de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos simplificar as raízes quadradas escrevendo-as em forma mais simples, fatorando os radicandos em quadrados perfeitos quando possível. Lembre-se: para a>0 tem-se \sqrt{a^2 b}=a\sqrt{b}.
Calcule \sqrt{8}:
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
Calcule \sqrt{72}:
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}.

Passo 3

Substituímos essas simplificações na equação original. Assim temos:
2^{1+x}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}.
Agora isolamos o termo exponencial, subtraindo 2\sqrt{2} dos dois lados:
2^{1+x}=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.

Passo 4

Para comparar o lado esquerdo com o direito, é conveniente escrever ambos como potências de 2. Lembre que \sqrt{2}=2^{1/2} e que 4=2^2. Então:
4\sqrt{2}=2^2\cdot 2^{1/2}=2^{2+\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{5}{2}}.
Portanto a equação fica
2^{1+x}=2^{\tfrac{5}{2}}.

Passo 5

Usamos a propriedade das potências com base positiva: se a>0 e a^u=a^v, então u=v. Aplicando aqui, como a base é 2>0, obtemos
1+x=\tfrac{5}{2}.
Resolvendo para x:
x=\tfrac{5}{2}-1=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Fazemos uma checagem rápida substituindo x=\tfrac{3}{2} na equação original para ter certeza:
2^{1+x}=2^{1+\tfrac{3}{2}}=2^{\tfrac{5}{2}}=4\sqrt{2}.
Somando \sqrt{8}=2\sqrt{2} obtemos 4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}=\sqrt{72}, que confirma a solução.

Resposta

x=\dfrac{3}{2}

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