Considere as seguintes probabilidades associadas a três eventos
e
:
,
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá as probabilidades condicionais de dois eventos B e C dados A e Aᶜ, e pede: P(B ∩ C), P© e P(A | B ∩ C). Vamos usar o teorema da probabilidade total para obter probabilidades conjuntas e depois a fórmula de Bayes para o último item.
Passo 2
Para aplicar o teorema da probabilidade total, primeiro calculamos as probabilidades conjuntas dos quatro eventos A ∩ B, A ∩ Bᶜ, Aᶜ ∩ B e Aᶜ ∩ Bᶜ, usando P(X ∩ Y)=P(X)P(Y|X):
Passo 3
Para P(B∩C) particionamos por A e Aᶜ: usando P(X∩Y∩Z)=P(X)P(Y|X)P(Z|X∩Y), temos
Substituindo:
Passo 4
Para P© usamos partição nas quatro interseções A∩B, A∩Bᶜ, Aᶜ∩B e Aᶜ∩Bᶜ:
Logo,
Passo 5
Finalmente, para P(A|B∩C) usamos Bayes:
Resposta
P(B ∩ C)=0.68, P©=0.74, P(A | B ∩ C)=27/34 ≈ 0.7941