Considere as seguintes probabilidades associadas a três eventos A, B e C :
P(B cap C), P(C)
P(A mid B cap C).
(b) .
© .
(d) .

Passo 1

O enunciado nos dá as probabilidades condicionais de dois eventos B e C dados A e Aᶜ, e pede: P(B ∩ C), P© e P(A | B ∩ C). Vamos usar o teorema da probabilidade total para obter probabilidades conjuntas e depois a fórmula de Bayes para o último item.

Passo 2

Para aplicar o teorema da probabilidade total, primeiro calculamos as probabilidades conjuntas dos quatro eventos A ∩ B, A ∩ Bᶜ, Aᶜ ∩ B e Aᶜ ∩ Bᶜ, usando P(X ∩ Y)=P(X)P(Y|X):
P(Acap B)=0.75times0.9=0.675,
P(Acap B^c)=0.75times(1-0.9)=0.075,
P(A^ccap B)=0.25times0.8=0.20,
P(A^ccap B^c)=0.25times(1-0.8)=0.05

Passo 3

Para P(B∩C) particionamos por A e Aᶜ: usando P(X∩Y∩Z)=P(X)P(Y|X)P(Z|X∩Y), temos
P(Bcap C)=P(A)P(B|A)P(C|Acap B)+P(A^c)P(B|A^c)P(C|A^ccap B)
Substituindo:
P(Bcap C)=0.75times0.9times0.8+0.25times0.8times0.7=0.54+0.14=0.68

Passo 4

Para P© usamos partição nas quatro interseções A∩B, A∩Bᶜ, Aᶜ∩B e Aᶜ∩Bᶜ:
P(C)=sumxinA,A^c,;yinB,B^cP(xcap y);P(Cmid xcap y)
Logo,
P(C)=0.675times0.8+0.075times0.6+0.20times0.7+0.05times0.3=0.54+0.045+0.14+0.015=0.74

Passo 5

Finalmente, para P(A|B∩C) usamos Bayes:
P(Amid Bcap C)=P(Acap Bcap C)P(Bcap C)=0.540.68=2734approx0.7941

Resposta

P(B ∩ C)=0.68, P©=0.74, P(A | B ∩ C)=27/34 ≈ 0.7941

Exercícios relacionados