Um pesquisador está estudando os efeitos da temperatura, da pressão e do tipo de catalisador no resultado de certa reação química. Três temperaturas diferentes, quatro pressões diferentes e cinco catalisadores diferentes são considerados para realização de testes.
(a) Se cada teste envolver a utilização de uma única temperatura, pressão e catalisador, quantos testes serão possíveis?
(b) Quantos testes envolvem o uso da menor temperatura e de duas menores pressões?
© Suponha que cinco testes diferentes sejam feitos no primeiro dia de experiência. Se os cinco forem selecionados aleatoriamente dentre todas as possibilidades, de forma que qualquer grupo de cinco tenha a mesma probabilidade de escolha, qual a probabilidade de que um catalisador diferente seja usado em cada teste?
(d) Se o pesquisador deve escolher um valor para a temperatura, um para pressão e um catalisador, nesta ordem, obrigatoriamente. Construa um diagrama de árvore que apresente todas as formas possíveis de valores para cada teste.
(a) Se cada teste envolver a utilização de uma única temperatura, pressão e catalisador, quantos testes serão possíveis?
(b) Quantos testes envolvem o uso da menor temperatura e de duas menores pressões?
© Suponha que cinco testes diferentes sejam feitos no primeiro dia de experiência. Se os cinco forem selecionados aleatoriamente dentre todas as possibilidades, de forma que qualquer grupo de cinco tenha a mesma probabilidade de escolha, qual a probabilidade de que um catalisador diferente seja usado em cada teste?
(d) Se o pesquisador deve escolher um valor para a temperatura, um para pressão e um catalisador, nesta ordem, obrigatoriamente. Construa um diagrama de árvore que apresente todas as formas possíveis de valores para cada teste.
Passo 1
O enunciado envolve um pesquisador que testa 3 temperaturas, 4 pressões e 5 catalisadores, escolhendo em cada ensaio um valor de cada. Vamos usar aqui: a regra do produto para contagem, combinatória para selecionar grupos de testes e probabilidade uniforme.
Passo 2
Para (a) basta aplicar a regra do produto: cada ensaio escolhe 1 das 3 temperaturas, 1 das 4 pressões e 1 dos 5 catalisadores. Logo o total de testes possíveis é
Passo 3
Em (b) fixamos a menor temperatura (1 opção) e permitimos apenas as duas menores pressões (2 opções), mas ainda temos 5 catalisadores possíveis. Então o número de testes é
Passo 4
Para © primeiro contamos o total de maneiras de escolher 5 testes dentre os 60, sem ordem:
. Para favorecer ter 5 catalisadores todos diferentes, em cada catalisador há
testes; devemos escolher 1 teste de cada um dos 5 catalisadores, o que dá
grupos favoráveis. Assim a probabilidade é
Passo 5
Em (d) construímos uma árvore de três níveis: no primeiro nível os 3 ramos são as temperaturas (T₁, T₂, T₃); de cada temperatura saem 4 ramos de pressão (P₁,P₂,P₃,P₄); e de cada pressão saem 5 ramos de catalisador (C₁,…,C₅). Isso gera no total
folhas, uma para cada combinação. Abaixo um esboço do início do diagrama:
T₁
├─ P₁
│ ├─ C₁
│ ├─ C₂
│ ├─ C₃
│ ├─ C₄
│ └─ C₅
├─ P₂
│ ├─ C₁ … C₅
└─ P₃, P₄ seguem o mesmo padrão
T₂ e T₃ repetem esse esquema de ramos.
T₁
├─ P₁
│ ├─ C₁
│ ├─ C₂
│ ├─ C₃
│ ├─ C₄
│ └─ C₅
├─ P₂
│ ├─ C₁ … C₅
└─ P₃, P₄ seguem o mesmo padrão
T₂ e T₃ repetem esse esquema de ramos.
Passo 6
Resposta
a) 60
b) 10
c)
d) Árvore de três níveis:
1º nível – Temperaturas: T₁, T₂, T₃
2º nível – de cada Tᵢ saem 4 ramos P₁,…,P₄
3º nível – de cada Pⱼ saem 5 ramos C₁,…,C₅
(60 folhas no total)
b) 10
c)
d) Árvore de três níveis:
1º nível – Temperaturas: T₁, T₂, T₃
2º nível – de cada Tᵢ saem 4 ramos P₁,…,P₄
3º nível – de cada Pⱼ saem 5 ramos C₁,…,C₅
(60 folhas no total)