Uma serraria recebe um lote de 10000 tábuas. É verificado que 20 % dessas tábuas estão muito verdes para serem usadas em construção de primeira qualidade.
(a) Duas tábuas são selecionadas aleatoriamente, uma após a outra. Sejam A= a primeira tábua está verde e B= a segunda tábua está verde . Calcule P(A), P(B) e P(A cap B). A e B são independentes? Sugestão: expresse P(B) usando o teorema da probabilidade total.
(b) Assumindo A e B independentes e P(A)=P(B)=0.2, quanto é P(A cap B) ? Qual é a diferença entre essa resposta e a do item (a)? Para fins de cálculo de P(A cap B), podemos supor que e sejam independentes unicamente para obter a probabilidade correta?
© Suponha que o lote consista em 10 tábuas, das quais 2 estão verdes. A hipótese de independência agora apresenta aproximadamente a resposta correta para P(A cap B) ? Qual é a principal diferença entre a situação descrita aqui e a do item (a)? Quando você considera que a independência seria válida para a obtenção de uma resposta aproximadamente correta para P(A cap B) ?

Passo 1

O enunciado trata de selecionar duas tábuas de um lote de 10000, em que 20% estão verdes, e calcular probabilidades envolvendo eventos dependentes e independentes (conteúdo: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e independência). Vamos precisar usar fórmulas de probabilidade condicional e o conceito de amostragem sem reposição.

Passo 2

Em (a) calculamos diretamente: P(A)=nº verdes/total = 2000/10000 = 0.2. Para P(B) usamos o teorema da probabilidade total considerando se a primeira está verde ou não:
Calcular P(B) via total:
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)

Passo 3

Aqui P(B|A)=(2000−1)/(10000−1)=1999/9999 e P(B|A^c)=2000/9999. Substituindo:
P(B)=19999999cdot0.2+20009999cdot0.8=0.2

Passo 4

Ainda em (a), P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)=0.2·(1999/9999)=\frac{2000\times1999}{10000\times9999}≈0.039998. Como P(A)P(B)=0.04≠0.039998, A e B não são independentes.

Passo 5

Em (b) se assumíssemos independência com P(A)=P(B)=0.2 teríamos P(A\cap B)=0.2·0.2=0.04. A diferença para o item (a) é 0.04−0.039998≈2·10^{−6}. Não podemos assumir independência para obter o valor exato; só em amostras pequenas relativas ao total essa aproximação costuma ser aceitável.

Passo 6

Em © agora o lote tem 10 tábuas das quais 2 são verdes. Então P(A\cap B) exata = (2/10)·(1/9)=2/90≈0.0222. Sob independência seria (2/10)^2=0.04, bem diferente do valor exato. A grande diferença é o tamanho da população (10 vs 10000): quanto menor o lote em relação ao tamanho da amostra, mais forte a dependência. A independência é válida como aproximação quando o tamanho da amostra é muito pequeno frente à população (por exemplo, fração de amostragem abaixo de 5%).

Resposta

(a) P(A)=0.2, P(B)=0.2, P(A∩B)=\dfrac{2000·1999}{10000·9999}≈0.039998; A e B não são independentes. (b) Sob independência P(A∩B)=0.04, diferença de ≈2·10^{−6}; não se pode assumir independência para ter o valor exato, apenas como boa aproximação quando a amostra é pequena frente à população. © Com 10 tábuas P(A∩B) exata=2/90≈0.0222, sob independência daria 0.04 (erro grande); a dependência é forte porque o lote é pequeno, e a independência só vale como aproximação quando a amostra é muito menor que a população (p.ex. <5%).

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