Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
a. f(x, y)=x^3 y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os pontos críticos de f(x,y)=x^3 y^2 e depois dizer se cada um é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo envolve derivadas parciais para encontrar o gradiente, resolver ∇f=0 para achar os pontos críticos, e usar a Hessiana (ou análise de sinal) pra classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrando que f_x é a derivada de f em relação a x e f_y em relação a y.
As derivadas são
fx = 3x^2 y^2,
fy = 2x^3 y

Passo 3

Agora a gente resolve o sistema f_x=0 e f_y=0. Da primeira equação 3x^2 y^2=0 vem x=0 ou y=0. Da segunda 2x^3 y=0 vem x=0 ou y=0. O conjunto de soluções em comum é exatamente todos os pontos com x=0 ou y=0. Ou seja, o eixo x inteiro e o eixo y inteiro.

Passo 4

Para classificar, vamos olhar as segundas derivadas. Calculamos
fxx=6xy^2, fyy=2x^3, fxy=6x^2y Essas são as entradas da matriz Hessiana H.

Passo 5

  1. Pontos sobre o eixo x (y=0): aí f_{xx}=0, f_{yy}=2x^3 e f_{xy}=0. O determinante D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 =0, então o teste da Hessiana falha. Aí a gente vê o sinal de f perto de (a,0): como f(x,y)=x^3 y^2, para y pequeno (mas y≠0) o y^2>0 e o sinal de f fica pelo sinal de x^3. Se a>0, em volta de (a,0) x é sempre positivo numa bolinha pequena, então f≥0 ali em volta ⇒ mínimo local; se a<0, x é sempre negativo perto ⇒ f≤0 ali ⇒ máximo local; no caso a=0 (origem) muda de sinal dos dois lados ⇒ sela.

Passo 6

  1. Pontos sobre o eixo y (x=0, y≠0): aí f_{xx}=0, f_{yy}=0 e f_{xy}=0, de novo teste inconclusivo. Mas perto de (0,b) com b≠0 temos y^2>0, então f(x,y)=x^3 y^2 tem sinal como x^3. Em qualquer vizinhança de (0,b) x muda de sinal ⇒ f fica positivo e negativo ⇒ ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são todos os (x,0) e (0,y). Para classificação:
  • Em (a,0) com a>0: mínimo local.
  • Em (a,0) com a<0: máximo local.
  • Em (0,0): ponto de sela.
  • Em (0,b) com b≠0: ponto de sela.

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