Exercício 4. Mudança Geral de Coordenadas em E^{3} (Translação e Rotação): Considere a seguinte mudança de coordenadas de Σ_{2}=\left(O^{\prime} ; \mathcal{F}\right) para Σ_{1}=(O ; \mathcal{E}) :
Nova origem: O^{\prime}=(\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{0})_{Σ_{1}} .
Nova base: \mathcal{F}=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\}, onde:
Escreva a formulação matricial da mudança de coordenadas de Σ_{2} para Σ_{1}.
Determine as coordenadas do ponto P=(\mathbf{2}, \mathbf{0}, \mathbf{5})_{Σ_{1}} no novo sistema Σ_{2}. (Dica: Calcule M^{-1} ).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dão a nova origem em coordenadas do sistema Σ_{1}: \,O'=(\mathbf{1},\mathbf{1},\mathbf{0})_{Σ_{1}}\,.
Dão a nova base \mathcal{F}=\{\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\} expressa em termos da base canônica \mathcal{E}=\{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}:\overrightarrow{f_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{3}}.
Pedidos:
Escrever a formulação matricial da mudança de coordenadas de Σ_{2} para Σ_{1}.
Determinar as coordenadas do ponto P=(\mathbf{2},\mathbf{0},\mathbf{5})_{Σ_{1}} no novo sistema Σ_{2}. (Dica: calcular M^{-1}.)
Passo 2
Conceito e notação da formulação matricial (sem ainda calcular números).
Seja [P]_{\mathcal{E}} o vetor coluna das coordenadas de P no sistema Σ_{1} e [P]_{\mathcal{F}} o vetor coluna das coordenadas de P no sistema Σ_{2}.
A mudança de coordenadas que leva coordenadas em Σ_{2} para coordenadas em Σ_{1} tem a forma
[P]_{\mathcal{E}}=\;t\;+\;M\,[P]_{\mathcal{F}},
onde t é o vetor posição da nova origem O' expresso em \mathcal{E} e M é a matriz cujas colunas são as componentes das vetores \overrightarrow{f_i} escritas em \mathcal{E}.
Passo 3
Determine explicitamente t e a matriz M.
O vetor translação (origem nova) em coordenadas de Σ_{1} é
t=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
As colunas de M são [\overrightarrow{f_{1}}]_{\mathcal{E}},[\overrightarrow{f_{2}}]_{\mathcal{E}},[\overrightarrow{f_{3}}]_{\mathcal{E}}. Assim
Note que \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} são ortonormais (cada \overrightarrow{f_i} tem norma 1 e estão mutuamente ortogonais). Logo M é uma matriz ortogonal e vale