Exercício 4. Mudança Geral de Coordenadas em E^{3} (Translação e Rotação): Considere a seguinte mudança de coordenadas de Σ_{2}=\left(O^{\prime} ; \mathcal{F}\right) para Σ_{1}=(O ; \mathcal{E}) :
Nova origem: O^{\prime}=(\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{0})_{Σ_{1}} .
Nova base: \mathcal{F}=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\}, onde:
\overrightarrow{f_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \overrightarrow{e_{2}} \quad \overrightarrow{f_{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \overrightarrow{e_{2}} \quad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{3}} .
  • Escreva a formulação matricial da mudança de coordenadas de Σ_{2} para Σ_{1}.
  • Determine as coordenadas do ponto P=(\mathbf{2}, \mathbf{0}, \mathbf{5})_{Σ_{1}} no novo sistema Σ_{2}. (Dica: Calcule M^{-1} ).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dão a nova origem em coordenadas do sistema Σ_{1}: \,O'=(\mathbf{1},\mathbf{1},\mathbf{0})_{Σ_{1}}\,.
  • Dão a nova base \mathcal{F}=\{\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\} expressa em termos da base canônica \mathcal{E}=\{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}: \overrightarrow{f_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{3}}.
  • Pedidos:
    1. Escrever a formulação matricial da mudança de coordenadas de Σ_{2} para Σ_{1}.
    2. Determinar as coordenadas do ponto P=(\mathbf{2},\mathbf{0},\mathbf{5})_{Σ_{1}} no novo sistema Σ_{2}. (Dica: calcular M^{-1}.)

Passo 2

Conceito e notação da formulação matricial (sem ainda calcular números).
  • Seja [P]_{\mathcal{E}} o vetor coluna das coordenadas de P no sistema Σ_{1} e [P]_{\mathcal{F}} o vetor coluna das coordenadas de P no sistema Σ_{2}.
  • A mudança de coordenadas que leva coordenadas em Σ_{2} para coordenadas em Σ_{1} tem a forma
[P]_{\mathcal{E}}=\;t\;+\;M\,[P]_{\mathcal{F}},
onde t é o vetor posição da nova origem O' expresso em \mathcal{E} e M é a matriz cujas colunas são as componentes das vetores \overrightarrow{f_i} escritas em \mathcal{E}.

Passo 3

Determine explicitamente t e a matriz M.
  • O vetor translação (origem nova) em coordenadas de Σ_{1} é
t=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • As colunas de M são [\overrightarrow{f_{1}}]_{\mathcal{E}},[\overrightarrow{f_{2}}]_{\mathcal{E}},[\overrightarrow{f_{3}}]_{\mathcal{E}}. Assim
M=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto a formulação matricial completa é
[P]_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[P]_{\mathcal{F}}.]

Passo 4

Observação sobre M e cálculo de M^{-1}.
  • Note que \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} são ortonormais (cada \overrightarrow{f_i} tem norma 1 e estão mutuamente ortogonais). Logo M é uma matriz ortogonal e vale
M^{-1}=M^{T}.
  • Escrevendo M^{T}:
M^{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Fórmula para obter coordenadas em Σ_{2} a partir de coordenadas em Σ_{1}.
  • A partir de [P]_{\mathcal{E}}=t+M[P]_{\mathcal{F}} isolamos [P]_{\mathcal{F}}:
[P]_{\mathcal{F}}=M^{-1}\big([P]_{\mathcal{E}}-t\big)=M^{T}\big([P]_{\mathcal{E}}-t\big).

Passo 6

Aplique a fórmula ao ponto dado P=(\mathbf{2},\mathbf{0},\mathbf{5})_{Σ_{1}}.
  • Primeiro calcule a diferença [P]_{\mathcal{E}}-t:
[P]_{\mathcal{E}}-t=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Multiplique M^{T} pelo vetor diferença (calcule componente a componente).
  • Use
M^{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad [P]_{\mathcal{E}}-t=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]5\end{pmatrix}.
  • Primeiro componente:
\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-1)+0\cdot 5 =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0.
  • Segunda componente:
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-1)+0\cdot 5 =-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
  • Terceira componente:
0\cdot 1+0\cdot(-1)+1\cdot 5=5.
  • Portanto
[P]_{\mathcal{F}}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-\sqrt{2}\\[2pt]5\end{pmatrix},
ou seja, as coordenadas de P em Σ_{2} são (\mathbf{0},\;-\mathbf{\sqrt{2}},\;\mathbf{5})_{Σ_{2}}.]

Resposta

[P]_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[P]_{\mathcal{F}}
(\mathbf{0},\;-\mathbf{\sqrt{2}},\;\mathbf{5})_{Σ_{2}}]

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