Exercício 15. Verifique se o espaço vetorial real (mathscrP2(R),+, cdot) é gerado pelo conjunto S=p, q, r, onde: p(x)=1+x, q(x)=x+2 x^2 e r(x)=1-x^2, para x in R.

Passo 1

O enunciado quer saber se todo polinômio de grau <=2 em mathscrP2(R) pode ser escrito como combinação linear de
p(x)=1+x, q(x)=x+2x^2, r(x)=1-x^2
Em outras palavras, verificar se S=p,q,r gera o espaço. Para isso vamos usar o critério de que S gera mathscrP2(R) se, dado um polinômio genérico de grau <=2, conseguimos achar escalares que façam a combinação.

Passo 2

Seja um polinômio arbitrário
t(x)=a + b,x + c,x^2
Supondo que ele seja combinação de p,q,r, escrevemos
t(x)=alpha,p(x)+beta,q(x)+gamma,r(x)
Isso dá
alpha(1+x)+beta(x+2x^2)+gamma(1-x^2) =(alpha+gamma)+(alpha+beta)x+(2beta-gamma)x^2
Comparando com a + b,x + c,x^2, igualamos coeficientes e obtemos o sistema
alpha+gamma = a, alpha+beta = b, 2beta-gamma = c

Passo 3

Resolvendo
alpha+beta=bimplies alpha=b-beta,
alpha+gamma=aimplies gamma=a-alpha=a-(b-beta)=a-b+beta,
e no terceiro
2beta-gamma=cimplies 2beta-(a-b+beta)=cimplies beta + b - a = cimplies beta = a + c - b
Logo
alpha = b - (a + c - b)=2b-a-c, gamma = a - b + (a + c - b)=2a + c -2b
Como para quaisquer a,b,c o sistema tem solução única, todo polinômio de grau <=2 se escreve em função de p,q,r.

Resposta

Sim. O conjunto S=p,q,r gera mathscrP2(R).

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