Exercício 15. Verifique se o espaço vetorial real
é gerado pelo conjunto
, onde:
e
, para
.
Passo 1
O enunciado quer saber se todo polinômio de grau
em
pode ser escrito como combinação linear de
Em outras palavras, verificar se
gera o espaço. Para isso vamos usar o critério de que
gera
se, dado um polinômio genérico de grau
, conseguimos achar escalares que façam a combinação.
Passo 2
Seja um polinômio arbitrário
Supondo que ele seja combinação de
, escrevemos
Isso dá
Comparando com
, igualamos coeficientes e obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo
e no terceiro
Logo
Como para quaisquer
o sistema tem solução única, todo polinômio de grau
se escreve em função de
.
Resposta
Sim. O conjunto
gera
.