Seja o espaço vetorial das matrizes de ordem sobre o corpo . Verifique se o subconjunto é subespaço de nos seguintes casos: é o conjunto das matrizes diagonais;
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e fala de espaços vetoriais: temos , o espaço de todas as matrizes reais, e o subconjunto
que são exatamente as matrizes diagonais. Para mostrar que W é subespaço de V vamos verificar as três propriedades clássicas:
não vazio (contém o vetor zero),
fechado sob adição,
fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o elemento zero de V está em W. O zero em V é
0V = 0 & 0 0 & 0,
que é claramente uma matriz diagonal (com a=0 e b=0). Logo 0Vin W, então Wneqemptyset.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
X = a & 0 0 & b, Y = c & 0 0 & d
do W. Então
X + Y = a+c & 0+0 0+0 & b+d = a+c & 0 0 & b+d
Como a+c e b+d são reais, X+Y também é diagonal, ou seja, X+Yin W.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja lambdainR e
X = a & 0 0 & bin W
Então
lambda X = lambda a & lambdacdot 0 lambdacdot 0 & lambda b = lambda a & 0 0 & lambda b
Como lambda a e lambda b são reais, lambda Xin W.
Já que W contém o zero, é fechado em relação à soma e à multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.