Seja V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 times 2 sobre o corpo R. Verifique se o subconjunto W é subespaço de V nos seguintes casos:
W é o conjunto das matrizes diagonais;

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e fala de espaços vetoriais: temos V = M2(R), o espaço de todas as matrizes 2times2 reais, e o subconjunto
W = a & 0 0 & b mid a,binR
que são exatamente as matrizes diagonais. Para mostrar que W é subespaço de V vamos verificar as três propriedades clássicas:
  1. não vazio (contém o vetor zero),
  2. fechado sob adição,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o elemento zero de V está em W. O zero em V é
0V = 0 & 0 0 & 0,
que é claramente uma matriz diagonal (com a=0 e b=0). Logo 0Vin W, então Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
X = a & 0 0 & b, Y = c & 0 0 & d
do W. Então
X + Y = a+c & 0+0 0+0 & b+d = a+c & 0 0 & b+d
Como a+c e b+d são reais, X+Y também é diagonal, ou seja, X+Yin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja lambdainR e
X = a & 0 0 & bin W
Então
lambda X = lambda a & lambdacdot 0 lambdacdot 0 & lambda b = lambda a & 0 0 & lambda b
Como lambda a e lambda b são reais, lambda Xin W.
Já que W contém o zero, é fechado em relação à soma e à multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Resposta

W é subespaço de V.

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