Considere as seguintes sentenças:
- Se
, então
;
- Se
é LI, então
;
-
;
-
é LD
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de quatro afirmações envolvendo operações vetoriais: projeção de um vetor, produto escalar e norma, produto escalar triplo (determinante) e produto externo (wedge). Vamos usar as definições:
- projeção de
sobre : - produto escalar triplo
, que pode ser positivo ou negativo, mas é nulo vetores linearmente dependentes; -
por definição de norma; - produto externo (em
, o cross product) e são linearmente independentes.
Passo 2
Analisando “Se
, então
”:
Se e
são paralelos, existe escalar
tal que
.
Então
Se
Então
Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando “Se
é LI, então
”:
Se são linearmente independentes, o valor de
é diferente de zero, mas pode ser positivo ou negativo conforme a orientação. Não há garantia de que seja maior que zero, apenas
. Logo, a afirmação é falsa.
Se
Passo 4
Analisando “
”:
Essa igualdade é exatamente a definição de norma induzida pelo produto escalar. Logo, é verdadeira.
Essa igualdade é exatamente a definição de norma induzida pelo produto escalar. Logo, é verdadeira.
Passo 5
Analisando “
é LD”:
Em ,
significa que
e
não são paralelos, ou seja, são linearmente independentes. A afirmação diz o contrário (dependentes), portanto é falsa.
Em