Considere as seguintes sentenças:
  • Se V // r, então projnr=r;
  • Se (u, v, w) é LI, então |u, v, w|>0;
  • u cdot u=|u|^2;
  • u wed>= v neq 0 Leftrightarrow(u, v) é LD

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de quatro afirmações envolvendo operações vetoriais: projeção de um vetor, produto escalar e norma, produto escalar triplo (determinante) e produto externo (wedge). Vamos usar as definições:
  • projeção de vec r sobre vec n: projvec nvec r = vec rcdotvec nvec ncdotvec n,vec n;
  • produto escalar triplo lvertvec u,vec v,vec wrvert = (vec utimesvec v)cdotvec w, que pode ser positivo ou negativo, mas é nulo iff vetores linearmente dependentes;
  • vec ucdotvec u=|vec u|^2 por definição de norma;
  • produto externo (em R^3, o cross product) vec uwed>=vec vneqvec 0 iff vec u e vec v são linearmente independentes.

Passo 2

Analisando “Se vec n // vec r, então projvec nvec r=vec r”:
Se vec n e vec r são paralelos, existe escalar kneq0 tal que vec n=kvec r.
Então
projvec nvec r =vec rcdot(kvec r)(kvec r)cdot(kvec r),(kvec r) =k,|vec r|^2k^2,|vec r|^2,kvec r =vec r
Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é LI, então lvertvec u,vec v,vec wrvert>0”:
Se vec u,vec v,vec w são linearmente independentes, o valor de lvertvec u,vec v,vec wrvert é diferente de zero, mas pode ser positivo ou negativo conforme a orientação. Não há garantia de que seja maior que zero, apenas lvertvec u,vec v,vec wrvertneq0. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando “ vec u cdot vec u=|vec u|^2”:
Essa igualdade é exatamente a definição de norma induzida pelo produto escalar. Logo, é verdadeira.

Passo 5

Analisando “ vec u wed>= vec v neq 0 Leftrightarrow (vec u,vec v) é LD”:
Em R^3, vec uwed>=vec vneqvec0 significa que vec u e vec v não são paralelos, ou seja, são linearmente independentes. A afirmação diz o contrário (dependentes), portanto é falsa.

Resposta

1. Verdadeira
2. Falsa
3. Verdadeira
4. Falsa

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