Exercício 10. Fixe uma orientação de e seja uma base ortonormal positiva. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores no espaço tridimensional (). Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como bases ortonormais, representação de vetores e o cálculo de determinantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal positiva. Uma base é um conjunto de vetores que, juntos, podem representar qualquer vetor no espaço. Ortonormal significa que os vetores da base são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e todos têm comprimento 1 (normalizados). Saber que a base é positiva nos ajuda a manter a orientação do espaço.
Passo 3
Agora, temos três vetores dados nas coordenadas dessa base: , e . Esses vetores determinam um paralelepípedo, e queremos encontrar o volume desse paralelepípedo.
Passo 4
Para calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores, usamos o determinante da matriz formada por esses vetores. Basicamente, organizamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos o determinante dessa matriz. O valor absoluto desse determinante nos dá o volume.
Passo 5
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 6
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante para uma matriz 3 times 3 é dado por: