Exercício 10. Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w, onde [u]E=(2,-2,0),[v]E=(0,1,0) e [w]E=(-2,-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores no espaço tridimensional ( V^3). Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como bases ortonormais, representação de vetores e o cálculo de determinantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal positiva. Uma base é um conjunto de vetores que, juntos, podem representar qualquer vetor no espaço. Ortonormal significa que os vetores da base são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e todos têm comprimento 1 (normalizados). Saber que a base é positiva nos ajuda a manter a orientação do espaço.

Passo 3

Agora, temos três vetores dados nas coordenadas dessa base: u = (2, -2, 0), v = (0, 1, 0) e w = (-2, -1, -1). Esses vetores determinam um paralelepípedo, e queremos encontrar o volume desse paralelepípedo.

Passo 4

Para calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores, usamos o determinante da matriz formada por esses vetores. Basicamente, organizamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos o determinante dessa matriz. O valor absoluto desse determinante nos dá o volume.

Passo 5

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w:
2 & 0 & -2 -2 & 1 & -1 0 & 0 & -1

Passo 6

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante para uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde a matriz é:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2 cdot (1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) - 0 cdot (-2 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + (-2) cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot 0)

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
2 cdot (1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) = 2 cdot (-1 - 0) = 2 cdot (-1) = -2
  1. Segundo termo:
-0 cdot (qualquer coisa) = 0
  1. Terceiro termo:
-2 cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot 0) = -2 cdot (0 - 0) = -2 cdot 0 = 0

Passo 8

Somando os três termos:
-2 + 0 + 0 = -2
O determinante é -2.

Passo 9

Como o volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto do determinante:
Volume = |det(A)| = |-2| = 2

Resposta

O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores dados é 2 unidades cúbicas.

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