Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado nos seguintes casos:
Representa o vetor v=(-1,0,1) e sua origem é o ponto médio entre os pontos P1=(1,1,3) e P2=(-1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a extremidade ou a origem de um segmento orientado. Aqui, estamos trabalhando com vetores e pontos no espaço tridimensional. Precisamos usar conceitos de vetores, pontos médios e como relacionar esses elementos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto médio entre os pontos P1 = (1, 1, 3) e P2 = (-1, 1, 1) . O ponto médio M de dois pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB) é calculado pela fórmula:
M = ( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 )

Passo 3

Aplicando os valores de P1 e P2 na fórmula do ponto médio:
M = ( 1 + (-1)2, 1 + 12, 3 + 12 ) = ( 02, 22, 42 ) = (0, 1, 2)
Então, o ponto médio M é (0, 1, 2) .

Passo 4

Agora, sabemos que a origem do segmento orientado é esse ponto médio M = (0, 1, 2) , e o vetor associado a esse segmento é v = (-1, 0, 1) .
Lembrando que um vetor v = (vx, vy, vz) pode ser representado por um segmento de reta que começa em um ponto A e termina em outro ponto B , onde:
v = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)

Passo 5

Como a origem do vetor é o ponto médio M = (0, 1, 2) , podemos expressar o ponto final B do vetor usando a fórmula:
B = M + v = (0, 1, 2) + (-1, 0, 1) = (0 + (-1), 1 + 0, 2 + 1) = (-1, 1, 3)

Resposta

A extremidade do segmento orientado é o ponto B = (-1, 1, 3) .

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