Considere as seguintes séries:
(i) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n+1}}{\sqrt[3]{n^{4}-6 n^{3}+13 n^{2}-12 n+4}},
(ii) \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}+4 n^{2}+5 n-2} \sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right),
(iii) \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln k \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{k}\right)}}
Assinale a alternativa correta.
(a) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(c) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(d) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(e) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.

Passo 1

O exercício apresenta três séries e pede que a gente decida, para cada uma, se converge ou diverge, e então escolha a alternativa correta. As séries são:
(i) \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n+1}}{\sqrt[3]{n^{4}-6 n^{3}+13 n^{2}-12 n+4}}.
(ii) \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}+4 n^{2}+5 n-2}\;\sin\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
(iii) \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln k \,\sqrt{1-\cos\!\left(\frac{1}{k}\right)}}.
Informações relevantes dadas: as expressões das três sequências de termos (os numeradores/denominadores ou fatores dentro das somas) para n (ou k) grandes. O objetivo é decidir convergência/ divergência de cada série.

Passo 2

Estratégia geral útil aqui (explico passo a passo): para séries com termos que são funções racionais em potências de n ou envolvem \sin e \cos de coisas pequenas, é muito eficaz achar o comportamento assintótico do termo geral a_n quando n\to\infty e compará-lo com séries-p (séries do tipo \sum n^{-p}) ou verificar se o termo não tende a zero. Vou usar essas ideias explicitando as fórmulas de aproximação que usamos.
Ferramentas que vamos usar (explicadas):
  • Se f(n)\sim g(n) significa \lim_{n\to\infty} f(n)/g(n)=C com 0<C<\infty, então \sum f(n) e \sum g(n) têm o mesmo comportamento (teste da comparação limite).
  • Séries-p: \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1.
  • Expansões para pequenas x: \sin x = x + o(x) e 1-\cos x = \tfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) quando x\to 0. Aqui o(\cdot) significa “termo infinitamente menor” comparado ao indicado.
Agora aplico isso em cada série.

Passo 3

Análise da série (i).
Termo geral:
a_n=\frac{\sqrt[4]{n+1}}{\sqrt[3]{n^{4}-6 n^{3}+13 n^{2}-12 n+4}}.
Fatoramos as potências principais para ver o comportamento quando n\to\infty.
No numerador:
\sqrt[4]{n+1} = n^{1/4}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/4}=n^{1/4}\bigl(1+o(1)\bigr).
No denominador (dentro da raiz cúbica):
n^{4}-6 n^{3}+13 n^{2}-12 n+4 = n^{4}\left(1-\frac{6}{n}+\frac{13}{n^{2}}-\frac{12}{n^{3}}+\frac{4}{n^{4}}\right).
Então
\sqrt[3]{n^{4}-6 n^{3}+\cdots} = n^{4/3}\left(1-\frac{6}{n}+\cdots\right)^{1/3} = n^{4/3}\bigl(1+o(1)\bigr).
Logo, para n grande,
a_n = \frac{n^{1/4}(1+o(1))}{n^{4/3}(1+o(1))} = n^{1/4-4/3}\bigl(1+o(1)\bigr) = n^{-13/12}\bigl(1+o(1)\bigr).
Conseqüência: a_n é assintoticamente equivalente a n^{-13/12}. Pelo teste da comparação limite, como 13/12>1, a série-p \sum n^{-13/12} converge, então a série (i) também converge.
(Motivação rápida: escrever os fatores principais n^{1/4} e n^{4/3} e comparar os expoentes é o jeito prático na prova.)

Passo 4

Análise da série (ii).
Termo geral:
b_n=\sqrt{n^{3}+4 n^{2}+5 n-2}\;\sin\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Aproximações para n grande:
Para a raiz quadrada:
\sqrt{n^{3}+4 n^{2}+5 n-2} = n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{5}{n^{2}}-\frac{2}{n^{3}}} = n^{3/2}\bigl(1+o(1)\bigr).
Para o seno, como o argumento \tfrac{1}{n^{2}}\to 0,
\sin\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right) = \frac{1}{n^{2}} + o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Multiplicando:
b_n = n^{3/2}\bigl(1+o(1)\bigr)\cdot\left(\frac{1}{n^{2}}+o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) = n^{-1/2}\bigl(1+o(1)\bigr).
Portanto b_n é assintoticamente equivalente a n^{-1/2}. A série \sum n^{-1/2} é uma série-p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto diverge. Pelo teste da comparação limite, a série (ii) também diverge.
(Interpretação prática: o fator \sqrt{n^{3}} n^{3/2} e o \sin(1/n^{2}) dá um 1/n^{2}, então sobra n^{-1/2}; isso não é somável.)

Passo 5

Análise da série (iii).
Termo geral:
c_k=\frac{1}{\ln k \,\sqrt{1-\cos\!\left(\frac{1}{k}\right)}}.
Usamos a expansão de 1-\cos x para pequeno x:
1-\cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\quad (x\to 0).
Tomando x=\tfrac{1}{k} (que vai para 0 quando k\to\infty):
1-\cos\!\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{2k^{2}} + o\!\left(\frac{1}{k^{2}}\right).
Logo
\sqrt{1-\cos\!\left(\frac{1}{k}\right)} = \sqrt{\frac{1}{2k^{2}}\bigl(1+o(1)\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{2}\,k}\bigl(1+o(1)\bigr).
Substituindo em c_k:
c_k = \frac{1}{\ln k}\cdot \frac{\sqrt{2}\,k}{1+o(1)} = \sqrt{2}\,\frac{k}{\ln k}\bigl(1+o(1)\bigr).
Portanto os termos c_k crescem aproximadamente como \tfrac{k}{\ln k} quando k\to\infty. Em particular,
\lim_{k\to\infty} c_k = \infty,
ou, no mínimo, os termos não tendem a 0. Como um requisito necessário para que uma série \sum c_k converja é que c_k\to 0, essa série não pode convergir. Assim, a série (iii) diverge de maneira forte (os termos sequer tendem a zero).

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • (i) converge (comparação com n^{-13/12}, p=\tfrac{13}{12}>1).
  • (ii) diverge (comporta-se como n^{-1/2}, p=\tfrac{1}{2}\le 1).
  • (iii) diverge (os termos são da ordem \tfrac{k}{\ln k}, portanto não tendem a zero).
Comparando com as alternativas dadas, a única que corresponde é que nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Resposta

(c)

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