Considere as seguintes séries:
(i)
,
(ii)
,
(iii)
Assinale a alternativa correta.
(a) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(c) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(d) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(e) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(i)
(ii)
(iii)
(a) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(c) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(d) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(e) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
Passo 1
O exercício apresenta três séries e pede que a gente decida, para cada uma, se converge ou diverge, e então escolha a alternativa correta. As séries são:
(i)
.
(ii)
.
(iii)
.
Informações relevantes dadas: as expressões das três sequências de termos (os numeradores/denominadores ou fatores dentro das somas) para
(ou
) grandes. O objetivo é decidir convergência/ divergência de cada série.
Passo 2
Estratégia geral útil aqui (explico passo a passo): para séries com termos que são funções racionais em potências de
ou envolvem
e
de coisas pequenas, é muito eficaz achar o comportamento assintótico do termo geral
quando
e compará-lo com séries-p (séries do tipo
) ou verificar se o termo não tende a zero. Vou usar essas ideias explicitando as fórmulas de aproximação que usamos.
Ferramentas que vamos usar (explicadas):
- Se
significa com , então e têm o mesmo comportamento (teste da comparação limite). - Séries-p:
converge se, e somente se, . - Expansões para pequenas
: e quando . Aqui significa “termo infinitamente menor” comparado ao indicado.
Agora aplico isso em cada série.
Passo 3
Análise da série (i).
Termo geral:
Fatoramos as potências principais para ver o comportamento quando
.
No numerador:
No denominador (dentro da raiz cúbica):
Então
Logo, para
grande,
Conseqüência:
é assintoticamente equivalente a
. Pelo teste da comparação limite, como
, a série-p
converge, então a série (i) também converge.
(Motivação rápida: escrever os fatores principais
e
e comparar os expoentes é o jeito prático na prova.)
Passo 4
Análise da série (ii).
Termo geral:
Aproximações para
grande:
Para a raiz quadrada:
Para o seno, como o argumento
,
Multiplicando:
Portanto
é assintoticamente equivalente a
. A série
é uma série-p com
, portanto diverge. Pelo teste da comparação limite, a série (ii) também diverge.
(Interpretação prática: o fator
dá
e o
dá um
, então sobra
; isso não é somável.)
Passo 5
Análise da série (iii).
Termo geral:
Usamos a expansão de
para pequeno
:
Tomando
(que vai para
quando
):
Logo
Substituindo em
:
Portanto os termos
crescem aproximadamente como
quando
. Em particular,
ou, no mínimo, os termos não tendem a
. Como um requisito necessário para que uma série
converja é que
, essa série não pode convergir. Assim, a série (iii) diverge de maneira forte (os termos sequer tendem a zero).
Passo 6
Resumo das conclusões:
- (i) converge (comparação com
, ). - (ii) diverge (comporta-se como
, ). - (iii) diverge (os termos são da ordem
, portanto não tendem a zero).
Comparando com as alternativas dadas, a única que corresponde é que nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Resposta
(c)