Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n^{3}+2 n-1}}{3^{n^{3}+4 n+1}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n^{2}+6 n-2}}{3^{n^{3}+3 n+1}}. Assinale a alternativa correta:
(a) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) S_{1} e S_{2} convergem.
(d) S_{1} e S_{2} divergem.
(e) S_{1} converge e S_{2} diverge.

Passo 1

O enunciado define duas séries e pede que eu assinale qual alternativa sobre convergência/divergência é correta. As séries são:
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n^{3}+2 n-1}}{3^{n^{3}+4 n+1}}
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n^{2}+6 n-2}}{3^{n^{3}+3 n+1}}
A pergunta é: qual das alternativas (a)–(e) está correta, onde cada alternativa informa se S_{1} e S_{2} convergem ou divergem.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Cada série é uma soma a partir de n=0 até infinito.
  • Os termos são positivos para todos n.
  • Em S_{1} aparecem potências com expoente cúbico n^{3} tanto no numerador quanto no denominador.
  • Em S_{2} aparece n^{2} no numerador e n^{3} no denominador.
  • O comportamento de cada termo para n grande é o que determina convergência ou divergência da série.

Passo 2

Qual método usar? Quando temos termos com potências exponenciais cujo expoente cresce com n (por exemplo n^{2}, n^{3} etc.), o Teste da raiz (root test) é muito eficiente: ele analisa \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Vou usar o Teste da raiz porque transforma potências com expoentes polinomiais em expressões mais simples e permite ver rapidamente se a razão efetiva por termo é menor que 1. O Teste da razão poderia ser mais complicado aqui; comparação direta também exige manipulação, então o Teste da raiz é a escolha natural.

Passo 3

Explicando o Teste da raiz (bem mastigado):
  • Seja uma série de termos a_n (aqui a_n>0). Definimos
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui L é a “taxa efetiva” por índice n: se essa taxa é menor que 1, os termos decaem geometricamente e a soma converge. Exemplo simples: para a_n=(1/2)^{n^2}, temos \sqrt[n]{a_n}=(1/2)^{n}\to0, logo converge.

Passo 4

Aplicando o Teste da raiz em S_{1}.
O termo geral é
a_n=\frac{2^{n^{3}+2 n-1}}{3^{n^{3}+4 n+1}}.
Calculo a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{2^{(n^{3}+2 n-1)/n}}{3^{(n^{3}+4 n+1)/n}}.
Agora simplifico os expoentes dividindo por n:
\frac{n^{3}+2 n-1}{n}=n^{2}+2-\frac{1}{n}, \qquad \frac{n^{3}+4 n+1}{n}=n^{2}+4+\frac{1}{n}.
Portanto
\sqrt[n]{a_n} = \frac{2^{\,n^{2}+2-\frac{1}{n}}}{3^{\,n^{2}+4+\frac{1}{n}}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n^{2}}\cdot \frac{2^{\,2-\frac{1}{n}}}{3^{\,4+\frac{1}{n}}}.
Observe que \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n^{2}} tende a 0 quando n\to\infty, pois \tfrac{2}{3}<1 e o expoente n^{2} cresce sem limite. A outra fração \dfrac{2^{\,2-\frac{1}{n}}}{3^{\,4+\frac{1}{n}}} tende a uma constante finita 2^{2}/3^{4}. Então
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=0.
Como o limite (e portanto o \limsup) é 0<1, pelo Teste da raiz S_{1} converge absolutamente, logo S_{1} converge.

Passo 5

Comentário intuitivo sobre S_{1}: a presença do fator \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n^{3}} (ou, após a raiz, \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n^{2}}) faz os termos irem a zero extremamente rápido — muito mais rápido que uma progressão geométrica comum — por isso a soma converge.

Passo 6

Aplicando o Teste da raiz em S_{2}.
O termo geral é
b_n=\frac{4^{n^{2}+6 n-2}}{3^{n^{3}+3 n+1}}.
Calculo a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{b_n}=\frac{4^{(n^{2}+6 n-2)/n}}{3^{(n^{3}+3 n+1)/n}}.
Simplificando os expoentes:
\frac{n^{2}+6 n-2}{n}=n+6-\frac{2}{n}, \qquad \frac{n^{3}+3 n+1}{n}=n^{2}+3+\frac{1}{n}.
Logo
\sqrt[n]{b_n} = \frac{4^{\,n+6-\frac{2}{n}}}{3^{\,n^{2}+3+\frac{1}{n}}} = \frac{4^{n}}{3^{n^{2}}}\cdot \frac{4^{\,6-\frac{2}{n}}}{3^{\,3+\frac{1}{n}}}.
Analiso o fator principal \dfrac{4^{n}}{3^{n^{2}}}. Escrevendo em exponenciais:
\frac{4^{n}}{3^{n^{2}}}=e^{n\ln 4 - n^{2}\ln 3}=e^{-n^{2}\ln 3 + n\ln 4}.
Para n grande o termo -n^{2}\ln 3 domina e torna a expressão muito pequena; portanto \dfrac{4^{n}}{3^{n^{2}}}\to 0 quando n\to\infty. A outra fração \dfrac{4^{\,6-\frac{2}{n}}}{3^{\,3+\frac{1}{n}}} tende a uma constante finita. Assim
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_n}=0.
Como o \limsup é 0<1, pelo Teste da raiz S_{2} converge absolutamente, logo S_{2} converge.

Passo 7

Comentário intuitivo sobre S_{2}: embora o numerador tenha 4^{n^{2}}, o denominador tem 3^{n^{3}}. Na raiz n-ésima isso aparece como 4^{n} dividido por 3^{n^{2}}, e o termo no denominador cresce muito mais rápido (potência de n^{2} no expoente da base 3) fazendo o quociente tender a zero. Portanto S_{2} também converge.

Passo 8

Conclusão combinada: tanto S_{1} quanto S_{2} convergem.

Resposta

(c)

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