Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
(a)
diverge e
converge.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
e
convergem.
(d)
e
divergem.
(e)
converge e
diverge.
(a)
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado define duas séries e pede que eu assinale qual alternativa sobre convergência/divergência é correta. As séries são:
A pergunta é: qual das alternativas (a)–(e) está correta, onde cada alternativa informa se
e
convergem ou divergem.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Cada série é uma soma a partir de
até infinito. - Os termos são positivos para todos
. - Em
aparecem potências com expoente cúbico tanto no numerador quanto no denominador. - Em
aparece no numerador e no denominador. - O comportamento de cada termo para
grande é o que determina convergência ou divergência da série.
Passo 2
Qual método usar? Quando temos termos com potências exponenciais cujo expoente cresce com
(por exemplo
,
etc.), o Teste da raiz (root test) é muito eficiente: ele analisa
. Vou usar o Teste da raiz porque transforma potências com expoentes polinomiais em expressões mais simples e permite ver rapidamente se a razão efetiva por termo é menor que 1. O Teste da razão poderia ser mais complicado aqui; comparação direta também exige manipulação, então o Teste da raiz é a escolha natural.
Passo 3
Explicando o Teste da raiz (bem mastigado):
- Seja uma série de termos
(aqui ). Definimos
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquié a “taxa efetiva” por índice : se essa taxa é menor que , os termos decaem geometricamente e a soma converge. Exemplo simples: para , temos , logo converge.
Passo 4
Aplicando o Teste da raiz em
.
O termo geral é
Calculo a
-ésima raiz:
Agora simplifico os expoentes dividindo por
:
Portanto
Observe que
tende a
quando
, pois
e o expoente
cresce sem limite. A outra fração
tende a uma constante finita
. Então
Como o limite (e portanto o
) é
, pelo Teste da raiz
converge absolutamente, logo
converge.
Passo 5
Comentário intuitivo sobre
: a presença do fator
(ou, após a raiz,
) faz os termos irem a zero extremamente rápido — muito mais rápido que uma progressão geométrica comum — por isso a soma converge.
Passo 6
Aplicando o Teste da raiz em
.
O termo geral é
Calculo a
-ésima raiz:
Simplificando os expoentes:
Logo
Analiso o fator principal
. Escrevendo em exponenciais:
Para
grande o termo
domina e torna a expressão muito pequena; portanto
quando
. A outra fração
tende a uma constante finita. Assim
Como o
é
, pelo Teste da raiz
converge absolutamente, logo
converge.
Passo 7
Comentário intuitivo sobre
: embora o numerador tenha
, o denominador tem
. Na raiz
-ésima isso aparece como
dividido por
, e o termo no denominador cresce muito mais rápido (potência de
no expoente da base
) fazendo o quociente tender a zero. Portanto
também converge.
Passo 8
Conclusão combinada: tanto
quanto
convergem.
Resposta
(c)