Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7 n^{2}}{(n!)^{2}}. Assinale a alternativa correta:
(a) S_{1} e S_{2} divergem.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(d) S_{1} e S_{2} convergem.
(e) S_{1} converge e S_{2} diverge.

Passo 1

O enunciado define duas séries e pede que indiquemos qual alternativa sobre convergência/divergência é correta. As séries são:
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}}
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{7n^{2}}{(n!)^{2}}
Precisamos decidir, entre as opções (a)–(e), se cada série converge ou diverge.

Passo 2

Vou analisar S_{1}. Para séries com termos que envolvem potências em n e fatoriais é conveniente usar o teste da raiz (root test). Vou primeiro lembrar o que é esse teste, explicando devagar:
O teste da raiz para uma série \sum a_n diz: calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa |a_n|^{1/n}, e \limsup é o limite superior (no nosso caso o limite comum existirá).
Agora aplico ao termo geral de S_{1}, que é a_n=\dfrac{(n!)^2}{6^{n^2}}. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{(n!)^{2/n}}{6^{n}}.
Para obter um limite simples uso a desigualdade elementar n! = 1\cdot2\cdots n \le n\cdot n\cdots n = n^{n}. Tomando potência 1/n dessa desigualdade temos (n!)^{1/n}\le n, portanto
(n!)^{2/n}\le n^{2}.
Assim
\sqrt[n]{a_n}=\frac{(n!)^{2/n}}{6^{n}}\le\frac{n^{2}}{6^{n}}.

Passo 3

Agora preciso ver o comportamento de \dfrac{n^{2}}{6^{n}} quando n\to\infty. Uma maneira simples e direta: tome a raiz n-ésima dessa expressão:
\sqrt[n]{\frac{n^{2}}{6^{n}}}=\frac{(n^{2})^{1/n}}{6}=\frac{n^{2/n}}{6}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{2/n}=1 (porque qualquer n^{c/n}\to 1), segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^{2}}{6^{n}}}=\frac{1}{6}<1.
Isto implica \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2}}{6^{n}}=0. Usando a desigualdade obtida no passo anterior, deduzimos que
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0.
Como o valor do teste da raiz L=0<1, concluímos que a série S_{1} converge absolutamente (logo converge).
Comentário intuitivo rápido: 6^{n^{2}} cresce extremamente rápido (tipo exponencial em n^{2}), muito mais rápido do que (n!)^{2} (que é grande, mas não tão rápido quanto 6^{n^{2}}), por isso os termos vão para zero muito depressa.

Passo 4

Agora analiso S_{2}. O termo geral é b_n=\dfrac{7n^{2}}{(n!)^{2}}. Para séries em que aparecem fatoriais no denominador, o teste da razão (ratio test) costuma ser direto e exato. Vou lembrar o teste da razão:
Para \sum b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.
Calculo a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{7(n+1)^{2}/\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}{7n^{2}/(n!)^{2}} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{(n!)^{2}}{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, tem-se \bigl((n+1)!\bigr)^{2}=(n+1)^{2}(n!)^{2}. Substituindo isso,
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{(n!)^{2}}{(n+1)^{2}(n!)^{2}}=\frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Então
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série S_{2} converge absolutamente (logo converge). Observação: o termo n=0 de S_{2} é 0, e isso não causa problema algum.

Passo 6

Resumo das conclusões: S_{1} converge (teste da raiz, porque \sqrt[n]{a_n}\to 0) e S_{2} converge (teste da razão, porque b_{n+1}/b_n\to 0). Portanto ambas convergem.

Resposta

(d)

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