Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7 n^{2}}{(n!)^{2}}. Assinale a alternativa correta:
(a) S_{1} e S_{2} divergem.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(d) S_{1} e S_{2} convergem.
(e) S_{1} converge e S_{2} diverge.
Passo 1
O enunciado define duas séries e pede que indiquemos qual alternativa sobre convergência/divergência é correta. As séries são:
Precisamos decidir, entre as opções (a)–(e), se cada série converge ou diverge.
Passo 2
Vou analisar S_{1}. Para séries com termos que envolvem potências em n e fatoriais é conveniente usar o teste da raiz (root test). Vou primeiro lembrar o que é esse teste, explicando devagar:
O teste da raiz para uma série \sum a_n diz: calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa |a_n|^{1/n}, e \limsup é o limite superior (no nosso caso o limite comum existirá).
Agora aplico ao termo geral de S_{1}, que é a_n=\dfrac{(n!)^2}{6^{n^2}}. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{(n!)^{2/n}}{6^{n}}.
Para obter um limite simples uso a desigualdade elementar n! = 1\cdot2\cdots n \le n\cdot n\cdots n = n^{n}. Tomando potência 1/n dessa desigualdade temos (n!)^{1/n}\le n, portanto
Isto implica \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2}}{6^{n}}=0. Usando a desigualdade obtida no passo anterior, deduzimos que
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0.
Como o valor do teste da raiz L=0<1, concluímos que a série S_{1} converge absolutamente (logo converge).
Comentário intuitivo rápido: 6^{n^{2}} cresce extremamente rápido (tipo exponencial em n^{2}), muito mais rápido do que (n!)^{2} (que é grande, mas não tão rápido quanto 6^{n^{2}}), por isso os termos vão para zero muito depressa.
Passo 4
Agora analiso S_{2}. O termo geral é b_n=\dfrac{7n^{2}}{(n!)^{2}}. Para séries em que aparecem fatoriais no denominador, o teste da razão (ratio test) costuma ser direto e exato. Vou lembrar o teste da razão:
Para \sum b_n, calcule
Como 0<1, pelo teste da razão a série S_{2} converge absolutamente (logo converge). Observação: o termo n=0 de S_{2} é 0, e isso não causa problema algum.
Passo 6
Resumo das conclusões: S_{1} converge (teste da raiz, porque \sqrt[n]{a_n}\to 0) e S_{2} converge (teste da razão, porque b_{n+1}/b_n\to 0). Portanto ambas convergem.