Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n^{3}-2 n-2}}{4^{n^{3}+2 n-1}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n^{4}+3 n-2}}{4^{4^{4}+3 n-2}}. Assinale a alternativa correta:
(a) S_{1} e S_{2} divergem.
(b) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(c) S_{1} e S_{2} convergem.
(d) S_{1} converge e S_{2} diverge.
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá duas séries infinitas e pede que a gente diga quais convergem ou divergem:
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n^{3}-2 n-2}}{4^{n^{3}+2 n-1}}
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n^{4}+3 n-2}}{4^{n^{4}+3 n-2}}
O que é pedido: identificar qual das alternativas abaixo é verdadeira
(a) S_{1} e S_{2} divergem.
(b) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(c) S_{1} e S_{2} convergem.
(d) S_{1} converge e S_{2} diverge.
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Informações relevantes dadas:
  • Ambas as séries têm termos positivos para todo n.
  • Os expoentes são polinomiais em n: em S_{1} aparece n^{3} e em S_{2} aparece n^{4}.
  • Não há pedido de soma explícita; só queremos saber convergência ou divergência.

Passo 2

Plano de ataque (sem executar ainda): quando temos séries com termos positivos frequentemente usamos comparação com séries geométricas ou o teste da divergência (se os termos não vão a zero, a série diverge). Vou lembrar dois resultados simples e úteis:
  1. Teste da divergência (condição necessária para convergência): se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então \sum a_n diverge. Em palavras: para a série poder convergir, seus termos devem tender a zero.
  2. Teste de comparação com série geométrica: se 0\le a_n \le C r^{n} para todo n grande o suficiente, com 0\le r<1, então \sum a_n converge (pois \sum C r^{n} é geométrica convergente). Esse é um jeito prático de mostrar convergência quando os termos decaem exponencialmente.
Vou aplicar esses princípios separadamente a S_{1} e S_{2}.

Passo 3

Análise de S_{1}. Escrevo o termo geral
a_n=\frac{3^{n^{3}-2 n-2}}{4^{n^{3}+2 n-1}}.
Faço a fatoração por partes para separar o fator dominante (3/4)^{n^{3}} das potências menores:
3^{n^{3}-2n-2}=3^{n^{3}}\cdot 3^{-2n-2}, \qquad 4^{n^{3}+2n-1}=4^{n^{3}}\cdot 4^{2n-1}.
Dividindo,
a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{n^{3}}\cdot 3^{-2n-2}\cdot 4^{-(2n-1)}.

Passo 4

Continuo a simplificação do fator pequeno. Reescrevo as potências com coeficientes constantes:
3^{-2n-2}=3^{-2}\cdot(3^{-2})^{n}=3^{-2}\left(\frac{1}{9}\right)^{n},
4^{-(2n-1)}=4^{1}\cdot 4^{-2n}=4\left(\frac{1}{16}\right)^{n}.
Multiplicando esses dois fatores:
3^{-2n-2}\cdot 4^{-(2n-1)}=\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{1}{144}\right)^{n}.
Portanto podemos escrever
a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{n^{3}}\cdot \left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{1}{144}\right)^{n}.

Passo 5

Aplicando comparação para S_{1}. Note que para todo n\ge 1 temos \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n^{3}}\le 1 porque 0<\dfrac{3}{4}<1 e o expoente é positivo. Assim, para n\ge 1,
a_n \le \left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{1}{144}\right)^{n}.
O lado direito é um termo de uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{144} (que é menor que 1), portanto \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{4}{9}\right)\left(\dfrac{1}{144}\right)^{n} converge. Pelo teste da comparação, a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge. (O termo n=0 é finito e não altera a convergência da série inteira.)
Conclusão parcial: S_{1} converge (e, na verdade, converge absolutamente).

Passo 6

Análise de S_{2}. Escrevo o termo geral (repare que tanto no numerador quanto no denominador o expoente é n^{4}+3n-2):
b_n=\frac{5^{\,n^{4}+3n-2}}{4^{\,n^{4}+3n-2}}=\left(\frac{5}{4}\right)^{\,n^{4}+3n-2}.
Aqui a base \dfrac{5}{4} é maior que 1.

Passo 7

Verifico a condição necessária para convergência: computo o limite do termo b_n quando n\to\infty. Como \dfrac{5}{4}>1 e o expoente n^{4}+3n-2\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^{\,n^{4}+3n-2} = +\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0. Pelo teste da divergência, se os termos não tendem a zero a série diverge. Logo S_{2} diverge.

Passo 8

Resumo final do raciocínio:
  • S_{1} converge por comparação com uma série geométrica de razão 1/144<1.
  • S_{2} diverge porque seu termo geral tende a +\infty (não tende a zero).
Portanto a alternativa correta é a que diz que S_{1} converge e S_{2} diverge.

Resposta

(d)

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