Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
(a)
e
divergem.
(b)
diverge e
converge.
(c)
e
convergem.
(d)
converge e
diverge.
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá duas séries infinitas e pede que a gente diga quais convergem ou divergem:
O que é pedido: identificar qual das alternativas abaixo é verdadeira
(a) e
divergem.
(b) diverge e
converge.
(c) e
convergem.
(d) converge e
diverge.
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Informações relevantes dadas:
- Ambas as séries têm termos positivos para todo
. - Os expoentes são polinomiais em
: em aparece e em aparece . - Não há pedido de soma explícita; só queremos saber convergência ou divergência.
Passo 2
Plano de ataque (sem executar ainda): quando temos séries com termos positivos frequentemente usamos comparação com séries geométricas ou o teste da divergência (se os termos não vão a zero, a série diverge). Vou lembrar dois resultados simples e úteis:
-
Teste da divergência (condição necessária para convergência): se
então diverge. Em palavras: para a série poder convergir, seus termos devem tender a zero. -
Teste de comparação com série geométrica: se
para todo grande o suficiente, com , então converge (pois é geométrica convergente). Esse é um jeito prático de mostrar convergência quando os termos decaem exponencialmente.
Vou aplicar esses princípios separadamente a
e
.
Passo 3
Análise de
. Escrevo o termo geral
Faço a fatoração por partes para separar o fator dominante
das potências menores:
Dividindo,
Passo 4
Continuo a simplificação do fator pequeno. Reescrevo as potências com coeficientes constantes:
Multiplicando esses dois fatores:
Portanto podemos escrever
Passo 5
Aplicando comparação para
. Note que para todo
temos
porque
e o expoente é positivo. Assim, para
,
O lado direito é um termo de uma série geométrica com razão
(que é menor que
), portanto
converge. Pelo teste da comparação, a série
converge. (O termo
é finito e não altera a convergência da série inteira.)
Conclusão parcial:
converge (e, na verdade, converge absolutamente).
Passo 6
Análise de
. Escrevo o termo geral (repare que tanto no numerador quanto no denominador o expoente é
):
Aqui a base
é maior que
.
Passo 7
Verifico a condição necessária para convergência: computo o limite do termo
quando
. Como
e o expoente
, temos
Em particular
. Pelo teste da divergência, se os termos não tendem a zero a série diverge. Logo
diverge.
Passo 8
Resumo final do raciocínio:
-
converge por comparação com uma série geométrica de razão . -
diverge porque seu termo geral tende a (não tende a zero).
Portanto a alternativa correta é a que diz que
converge e
diverge.
Resposta
(d)