Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(d)
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(d)
Passo 1
O enunciado pede para o sistema (d) dado por u₁′=3u₂ e u₂′=−2u₁: i) escrever em forma matricial; ii) encontrar autovalores e autovetores da matriz associada; iii) esboçar o campo de direções e o retrato de fase.
Passo 2
Definimos o vetor de estado
. Assim o sistema fica
com
Passo 3
Para os autovalores calculamos o polinômio característico:
logo
Passo 4
Agora achamos um autovetor para
resolvendo
. Por exemplo, da primeira linha
[-i\sqrt6,v_1+3,v_2=0\ \Rightarrow\ v=
.
O autovetor para é simplesmente o conjugado.
O autovetor para
Passo 5
Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto de equilíbrio na origem é um centro. O campo de direções exibe órbitas fechadas ao redor da origem, e avaliando vetores em pontos-chave (por exemplo em
o vetor aponta para baixo) verifica-se que a rotação é no sentido horário.
Resposta
i) Forma matricial:
ii) Autovalores:
Autovetor para
:
e para
iii) Retrato de fase: centro com órbitas periódicas fechadas (círculos ou elipses) em torno da origem, com rotação no sentido horário.