Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(d) lu1^prime=3 u2, u2^prime=-2 u1

Passo 1

O enunciado pede para o sistema (d) dado por u₁′=3u₂ e u₂′=−2u₁: i) escrever em forma matricial; ii) encontrar autovalores e autovetores da matriz associada; iii) esboçar o campo de direções e o retrato de fase.

Passo 2

Definimos o vetor de estado u=(u1,u2)^T. Assim o sistema fica u'=Au com
A=0 & 3 -2 & 0

Passo 3

Para os autovalores calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det-lambda & 3 -2 & -lambda=lambda^2+6=0,
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lambda=pm iraiz6

Passo 4

Agora achamos um autovetor para lambda=iraiz6 resolvendo (A-lambda I)v=0. Por exemplo, da primeira linha
[-i\sqrt6,v_1+3,v_2=0\ \Rightarrow\ v= 3 iraiz6.
O autovetor para lambda=-iraiz6 é simplesmente o conjugado.

Passo 5

Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto de equilíbrio na origem é um centro. O campo de direções exibe órbitas fechadas ao redor da origem, e avaliando vetores em pontos-chave (por exemplo em (1,0) o vetor aponta para baixo) verifica-se que a rotação é no sentido horário.

Resposta

i) Forma matricial:
u'=Au, A=0 & 3 -2 & 0
ii) Autovalores:
lambda=pm iraiz6
Autovetor para lambda=iraiz6:
v=3 iraiz6,
e para lambda=-iraiz6 o seu conjugado.
iii) Retrato de fase: centro com órbitas periódicas fechadas (círculos ou elipses) em torno da origem, com rotação no sentido horário.

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