Seja u, v, w in R^3. Mostre que:
Dois vetores u e v são simultaneamente perpendiculares ao seu produto vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados u,vinR^3, temos
ucdot(utimesv)=0 e vcdot(utimesv)=0
Isso pertence à geometria vetorial e usa a definição do produto vetorial em coordenadas ou pelo símbolo de Levi–Civita, além da bilinearidade e da antissimetria de times.

Passo 2

Recordando a notação com o símbolo de Levi–Civita, os componentes de utimesv são
(utimesv)i = sumj,k=1^3varepsiloni j k,uj,vk,
onde varepsilonijk é totalmente antissimétrico (muda de sinal se permutarmos dois índices) e vale zero sempre que algum par de índices repetem.

Passo 3

Para calcular ucdot(utimesv), usamos
ucdot(utimesv) = sumi=1^3ui,(utimesv)i = sumi,j,k=1^3ui,varepsiloni j k,uj,vk
Porém ui,uj é simétrico em i,j enquanto varepsiloni j k é antissimétrico em i,j. Logo cada soma sobre i,j anula-se, dando zero:
ucdot(utimesv)=0

Passo 4

De modo análogo,
vcdot(utimesv) = sumi,j,k=1^3vi,varepsiloni j k,uj,vk,
onde agora vi,vk é simétrico em i,k e varepsiloni j k é antissimétrico em i,k. Isso força
vcdot(utimesv)=0

Resposta

ucdot(utimesv)=0 e vcdot(utimesv)=0, ou seja, u e v são ambos perpendiculares ao vetor utimesv.

Exercícios relacionados