Seja
. Mostre que:
Dois vetores
e
são simultaneamente perpendiculares ao seu produto vetorial.
Dois vetores
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, temos
Isso pertence à geometria vetorial e usa a definição do produto vetorial em coordenadas ou pelo símbolo de Levi–Civita, além da bilinearidade e da antissimetria de
.
Passo 2
Recordando a notação com o símbolo de Levi–Civita, os componentes de
são
onde
é totalmente antissimétrico (muda de sinal se permutarmos dois índices) e vale zero sempre que algum par de índices repetem.
Passo 3
Para calcular
, usamos
Porém
é simétrico em
enquanto
é antissimétrico em
. Logo cada soma sobre
anula-se, dando zero:
Passo 4
De modo análogo,
onde agora
é simétrico em
e
é antissimétrico em
. Isso força