Seja u, v, w in R^3. Mostre que:
lang<=(u+v) ;(u+v)rang<==lang<=u ; urang<=+2lang<=u ; vrang<=+lang<=v ; vrang<=

Passo 1

O enunciado pede para expandir o produto interno de u+v com ele mesmo em R^3. O conteúdo necessário é a bilinearidade e a simetria do produto interno, ou seja:
  1. Para quaisquer vetores a,b,c e escalar lambda, lang<= lambdaa + b,,crang<= = lambda,lang<= a,crang<= + lang<= b,crang<=,
  2. lang<= a,brang<= = lang<= b,arang<=.

Passo 2

Aplicamos a bilinearidade no primeiro argumento:
lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,,u+vrang<= + lang<= v,,u+vrang<=

Passo 3

Agora aplicamos bilinearidade no segundo argumento em cada termo:
lang<= u,,u+vrang<= = lang<= u,,urang<= + lang<= u,,vrang<=, lang<= v,,u+vrang<= = lang<= v,,urang<= + lang<= v,,vrang<=

Passo 4

Juntando tudo:
lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<=
Pela simetria lang<= v,urang<= = lang<= u,vrang<=, temos dois termos iguais no meio.

Passo 5

Somando os termos iguais:
lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + 2,lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=

Resposta

lang<=(u+v),(u+v)rang<= = lang<=u,urang<= +2,lang<=u,vrang<= +lang<=v,vrang<=

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